Question

已知关于x的一元二次方程x²+mx+n+1=0的一根为2．
（1）求n关于m的关系式；
（2）试说明：关于y的一元二次方程y²+my+n=0总有两个不相等的实数根．

Answer 1

分析：（1）根据根与系数的关系可求x₁+x₂，x₁x₂的值，可先设x₁=2，就可求出m、n的关系式；
（2）利用根的判别式△=b²-4ac，可求具体数值，利用数值来说明方程总有两个不相等的实数根．

解答：解：（1）根据题意得
x₁+x₂=-

b

a

=-

m

1

，x₁x₂=

c

a

=

n+1

1

，
可设x₁=2，那么
2+x₂=-m，2x₂=n+1，
∴2（-m-2）=n+1，
∴n=-2m-5；

（2）由题意得
△=b²-4ac=m²-4×1×n=m²-4（-2m-5）=m²+8m+20=（m+4）²+4＞0，
∴关于y的一元二次方程y²+my+n=0总有两个不相等的实数根．

点评：本题利用了根与系数的关系，即一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，且a，b，c是常数）若有两根，则两个根x₁，x₂有这样的关系：x₁+x₂=-

b

a

，x₁x₂=

c

a

，以及利用了根的判别式△=b²-4ac．