题目内容
【题目】问题情境：如图1，AB∥CD，∠PAB=125°，∠PCD=135°，求∠APC的度数．
小明的思路是：过P作PE∥AB，通过平行线性质来求∠APC．
(1)按小明的思路，易求得∠APC的度数为 度。
(2)问题迁移：如图2，AB∥CD，点P在射线OM上运动，记∠PAB=α，∠PCD=β，当点P在B、D两点之间运动时，问∠APC与α、β之间有何数量关系？请说明理由；
(3)在(2)的条件下，①如果点P运动到D点右侧（不包括D点），则∠APC与α、β之间的数量关系为 ．②如果点P运动到B点左侧（不包括B点），则∠APC与α、β之间的数量关系 .（直接写出结果）
【答案】（1）100°；（2）∠APC＝
，理由详见解析； （3）∠APC =
, ∠APC =
【解析】
（1）过点P作PE∥AB，通过平行线性质来求∠APC；
（2）过P作PE∥AD交AC于E，推出AB∥PE∥DC，根据平行线的性质得出∠α=∠APE，∠β=∠CPE，即可得出答案；
（3）分两种情况：P在BD延长线上；P在DB延长线上，分别画出图形，根据平行线的性质得出∠α=∠APE，∠β=∠CPE，即可得出答案.
解：（1）如图1，过P作PE∥AB，
∵AB∥CD，
∴PE∥AB∥CD，
∴∠A+∠APE=180°，∠C+∠CPE=180°，
∵∠PAB=125°，∠PCD=135°，
∴∠APE=55°，∠CPE=45°，
∴∠APC=∠APE+∠CPE=55°+45°=100°.
（2）∠APC=α+β，
理由是：如下图，过P作PE∥AB，交AC于E，
∵AB∥CD，
∴AB∥PE∥CD，
∴∠APE=∠PAB=α，∠CPE=∠PCD=β，
∴∠APC=∠APE+∠CPE=α+β.
（3）如下图所示，当P在BD延长线上时，
过P作PE∥AB，交AC于E，
∵AB∥CD，
∴AB∥PE∥CD，
∴∠1=∠PAB=α，
∵∠1=∠APC+∠PCD
∴∠APC=∠1-∠PCD，
∴∠APC=α-β，
如下图所示，当P在DB延长线上时，
过P作PE∥AB，交AC于E，
∵AB∥CD，
∴AB∥PE∥CD，
∴∠EPC=∠PCD=β，∠EPA=∠PAB=α
又∵∠EPC=∠EPA+∠APC，
∴∠APC=β-α.
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