题目内容

（2013•杭州一模）已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，边长为2
3
的等边△ABC随着顶点A在抛物线y=x2-2
3
x上运动而运动，且始终有BC∥x轴．
（1）当顶点A运动至与原点重合时，顶点C是否在该抛物线上？
（2）△ABC在运动过程中有可能被x轴分成两部分，当上下两部分的面积之比为1：8（即S上部分：S下部分=1：8）时，求顶点A的坐标；
（3）△ABC在运动过程中，当顶点B落在坐标轴上时，直接写出顶点C的坐标．
分析：（1）当顶点A运动至与原点重合时，设BC与y轴交于点D，如图所示．由等边三角形的性质可以求出AD的值，从而求出C的坐标．
（2）过点A作AD⊥BC于点D，设出A点的坐标，由条件表示出AD的值，再由三角函数求出AD的值，从而建立等量关系就可以求出A的坐标．
（3）B点在坐标轴上有两种情况如图，当B点在x轴上时，则A的纵坐标为3，代入抛物线的解析式求出A的横坐标就可以求出C的坐标；当B点y轴上时，可以求出A点的横坐标
3
，代入抛物线的解析式可以求出A点的纵坐标，从而求出C点的坐标．
解答：解：（1）当顶点A运动至与原点重合时，设BC与
y轴交于点D，如图所示．
∵BC∥x轴，BC=AC=2
3
，
∴CD=
3
，AD=3．
∴C点的坐标为(
3
 ， -3)． 

∵当x=
3
时，y=(
3
)2-2
3
×
3
=-3．
∴当顶点A运动至与原点重合时，顶点C在抛物线上．

（2）过点A作AD⊥BC于点D，
设点A的坐标为（x，x2-2
3
x）．
∵BC∥x轴，
∴x轴上部分的三角形∽△ABC．
∵S上部分：S下部分=1：8，
∴S上部分：S△ABC=1：9，
∴AD=3(x2-2
3
x)．
∵等边△ABC的边长为2
3
，
∴AD=AC•sin60°=3．
∴3(x2-2
3
x)=3．
∴x2-2
3
x-1=0．
解方程，得 x=
3
±2．
∴顶点A的坐标为(
3
+2 ， 1)或(
3
-2 ， 1)．


（3）当顶点B落在x轴时，则A点纵坐标为3，
∴3=x2-2
3
x，
∴x=
3
-
6
或
3
+
6
．
∴顶点C的坐标为（2
3
-
6
，0）、（2
3
+
6
，0）、
当顶点B落在y轴时，则A点横坐标为
3
，
∴y=x2-2
3
x=-3，
∴顶点C的坐标为（2
3
，-6），
∴顶点C的坐标为(2
3
-
6
 ， 0)、(2
3
+
6
 ， 0)、(2
3
 ， -6)．　
点评：本题是一道二次函数的综合试题，考查了点的坐标，三角形的面积，等边三角形的性质．相似三角形的判定及性质．
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4
5
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1
2
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29
2
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20
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4
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．

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