题目内容
如图，梯形ABCD在平面直角坐标系中，上底AD平行于x轴，下底BC交y轴于点E，点C（4，-2），点D（1，2），BC=9，sin∠ABC=
．
（1）求直线AB的解析式；
（2）若点H的坐标为（-1，-1），动点G从B出发，以1个单位/秒的速度沿着BC边向C点运动（点G可以与点B或点C重合），求△HGE的面积S（S≠0）随动点G的运动时间t′秒变化的函数关系式（写出自变量t′的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，当t′=
秒时，点G停止运动，此时直线GH与y轴交于点N．另一动点P开始从B出发，以1个单位/秒的速度沿着梯形的各边运动一周，即由B到A，然后由A到D，再由D到C，最后由C回到B（点P可以与梯形的各顶点重合）．设动点P的运动时间为t秒，点M为直线HE上任意一点（点M不与点H重合），在点P的整个运动过程中，求出所有能使∠PHM与∠HNE相等的t的值．
| 4 |
| 5 |
（1）求直线AB的解析式；
（2）若点H的坐标为（-1，-1），动点G从B出发，以1个单位/秒的速度沿着BC边向C点运动（点G可以与点B或点C重合），求△HGE的面积S（S≠0）随动点G的运动时间t′秒变化的函数关系式（写出自变量t′的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，当t′=
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| 2 |
（1）如图1，过A作AF⊥BC．
∵C（4，-2），∴CE=4．
而BC=9，∴BE=5．
∴B（-5，-2）．
∵D（1，2），∴AF=4．
∵sin∠ABC=
，∴BF=3．
∴A（-2，2）．
设直线AB的解析式为y=kx+b，
∵
，∴
，
∴直线AB的解析式为y=
x+
．
（2）如图1，由题意：
情况一：G在线段BE上且不与点E重合．
∴GE=5-t′，
S=（5-t′）×1×
=
-
t′；
情况二：G在线段CE上且不与点E重合．
∴GE=t′-5
S=（t′-5）×1×
=
t′-
；
情况一中的自变量的取值范围：0≤t′＜5，
情况二中的自变量的取值范围：5＜t′≤9．
（3）如图2，
当t′=
秒时，GE=5-
=
∴G（-
，-2），直线GH解析式为y=2x+1．
∴N（0，1）．
当点M在射线HE上时，有两种情况：
情况一：当点P运动至P1时，∠P1HM=∠HNE．
过点P1作平行于y轴的直线，交直线HE于点Q1，交BC于点R．
由BP1=t，sin∠ABC=
，可得BR=
t1，P1R=
t1，
∴RE=Q1R=5-
t1，
∴P1Q1=5-
t1．
∴Q1H=
(4-
t1)．
由△P1Q1H∽△HEN得
=
，
∴t1=
．
∴当t1=
时，∠P1HM=∠HNE；
情况二：当点P运动至点P2时，
设直线P2H与x轴交于点T，直线HE与x交于点Q2．
此时，△Q2TH∽△EHN
∴
=
解得Q2T=
∴T(-
，0)．
∴直线HT的解析式为y=-3x-4，此时直线HT恰好经过点A（-2，2）．
∴点P2与点A重合，即BP2=5，
∴t2=5．
∴当t2=5秒时，∠P2HM=∠HNE；
若点M在射线HE上时（点M记为点M1），有两种情况：
情况三：当点P运动至点P3时，∠P3HM1=∠HNE．
过点P3作平行于y轴的直线P3Q3，交直线HE于点Q3，可用求点P1同样的方法．
∴t3=15．
∴当t3=15秒时，∠P3HM1=∠HNE；
情况四：当点P运动至P4时，∠P4HM1=∠HNE．
可得△P4HE≌△THQ2，∴P4E=TQ2=
．∴t4=17
∴当t4=17
秒时，∠P4HM2=∠HNE．
综上所述：当t=
秒或t=5秒或t=15秒或t=17
秒时，∠PHM=∠HNE．
∵C（4，-2），∴CE=4．
而BC=9，∴BE=5．
∴B（-5，-2）．
∵D（1，2），∴AF=4．
∵sin∠ABC=
| 4 |
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∴A（-2，2）．
设直线AB的解析式为y=kx+b，
∵
|
|
∴直线AB的解析式为y=
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| 14 |
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（2）如图1，由题意：
情况一：G在线段BE上且不与点E重合．
∴GE=5-t′，
S=（5-t′）×1×
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| 5 |
| 2 |
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情况二：G在线段CE上且不与点E重合．
∴GE=t′-5
S=（t′-5）×1×
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| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 5 |
| 2 |
情况一中的自变量的取值范围：0≤t′＜5，
情况二中的自变量的取值范围：5＜t′≤9．
（3）如图2，
当t′=| 7 |
| 2 |
| 7 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
∴G（-
| 3 |
| 2 |
∴N（0，1）．
当点M在射线HE上时，有两种情况：
情况一：当点P运动至P1时，∠P1HM=∠HNE．
过点P1作平行于y轴的直线，交直线HE于点Q1，交BC于点R．
由BP1=t，sin∠ABC=
| 4 |
| 5 |
| 3 |
| 5 |
| 4 |
| 5 |
∴RE=Q1R=5-
| 3 |
| 5 |
∴P1Q1=5-
| 7 |
| 5 |
∴Q1H=
| 2 |
| 3 |
| 5 |
由△P1Q1H∽△HEN得
| P1Q1 |
| Q1H |
| HE |
| EN |
∴t1=
| 7 |
| 3 |
∴当t1=
| 7 |
| 3 |
情况二：当点P运动至点P2时，
设直线P2H与x轴交于点T，直线HE与x交于点Q2．
此时，△Q2TH∽△EHN
∴
| Q2T |
| Q2H |
| EH |
| EN |
| 2 |
| 3 |
| 4 |
| 3 |
∴直线HT的解析式为y=-3x-4，此时直线HT恰好经过点A（-2，2）．
∴点P2与点A重合，即BP2=5，
∴t2=5．
∴当t2=5秒时，∠P2HM=∠HNE；
若点M在射线HE上时（点M记为点M1），有两种情况：
情况三：当点P运动至点P3时，∠P3HM1=∠HNE．
过点P3作平行于y轴的直线P3Q3，交直线HE于点Q3，可用求点P1同样的方法．
∴t3=15．
∴当t3=15秒时，∠P3HM1=∠HNE；
情况四：当点P运动至P4时，∠P4HM1=∠HNE．
可得△P4HE≌△THQ2，∴P4E=TQ2=
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| 2 |
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∴当t4=17
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综上所述：当t=
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