Question

（2012•滨湖区模拟）如图，菱形ABCD的边长为12cm，∠ABC=30°，E为AB上一点，且AE=4cm，动点P从B点出发，以1cm/s的速度沿BC边向点C运动，PE交射线DA于点M，设运动时间为t（s）．

（1）当t为何值时，△MAE的面积为3cm²？
（2）在点P出发的同时，动点Q从点D出发，以1cm/s的速度沿DC边向点C运动，连接MQ、PQ，试求△MPQ的面积S（cm²）与t（s）之间的函数关系式，并求出当t为何值时，△MPQ的面积最大，最大值为多少？
（3）连接EQ，则在运动中，是否存在这样的t，使得△PQE的外心恰好在它的一边上？若存在，请直接写出满足条件的t的个数，并选择其一求出相应的t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）首先证明△EAM∽△EBP，进而得到

AM

BP

=

AE

BE

=

1

2

，然后表示出AE=4cm，BE=8cm，BP=tcm，又可得到AM=

1

2

tcm，再根据S_△EAM=3cm²，可得方程

1

2

×

1

2

t×2=3，解方程可得t的值；
（2）梯形和三角形面积公式表示出S_△MPQ，进而利用二次函数最值得出即可；
（3）首先根据△PQE的外心恰好在它的一边上，则△PQE为直角三角形，再利用垂直平分线的性质得出即可．

解答：解：（1）如图1，∵四边形ABCD 为菱形，
∴AD∥BC．
∴△EAM∽△EBP．
∴

AM

BP

=

AE

BE

=

1

2

，
∵AE=4cm，BE=8cm，BP=tcm，
∴AM=

1

2

tcm，
过E作EN⊥AD，
∵∠MAE=30°、AE=4cm，
∴EN=

1

2

AE=2cm，
∵S_△EAM=3cm²，
∴

1

2

×

1

2

t×2=3，
解得t=6，
∴当t为6s时，△MAE的面积为3cm²；

（2）∵AD∥BC，
∴S_梯PCDM=72-

3

2

t，
∵S_△PCQ=

144-24t+t2

4

，S_△MQD=

12t+ 1 2 t2

4

，
∴S_△MPQ=-

3

8

t²+

3

2

t+36，
∴S_△MPQ=-

3

8

 （t-2）²+

75

2

，
当t=2时，S最大值为

75

2

；

（3）t的值有两个，
如图2，
∵△PQE的外心恰好在它的一边上，
∴△PQE为直角三角形，
由BP=DQ、BC=DC可得PQ∥BD，
若∠EPQ=90°，则可得PE⊥BD （或PE∥AC），
∴BP=BE=8cm，即当t=8s时，∠EPQ=90°．

点评：此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及二次函数最值求法等知识，此题综合性较强，注意题目已知条件的转化．