Question

如图（1）在直角坐标系中．一条曲线y=（x＞0）与矩形AOBC的两边交于M（4，2）、N两点．且四边形MONC的面积是8．
（1）说明：矩形AOBC是正方形．
（2）如图（2）．若点P（a，b）是这条曲线MN段（含端点）上的一动点，由点P向x轴、y轴作垂线PE、PD．垂足是E、D，与线段AB分别交于F、G．
①填空：点F的坐标______（用b的代数式表示）；点G的坐标______〔用a的代数式表示）；
②说明：△BOG∽△AFO；
③当点P在曲找y=的MN段（含端点）上移动时．△OFC随之变动．是否存在点P，使△OFG是等腰三角形？若存在，请直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵点M（4，2）在双曲线y=的图象上，
∴k=4×2=8，
∴反比例函数的解析式为y=，
∴S_△AOM=S_△BON=|k|=4，
∴S_矩形AOBC=S_△AOM+S_△BON+S_{四边形MONC}=4+4+8=16，
又∵OA=4，OA•OB=16，
∴OB=4，
∴OA=OB，
∴矩形AOBC是正方形；

（2）①设直线AB的解析式为y=mx+n，
将A（4，0），B（0，4）代入，得，
解得，
则直线AB的解析式为y=-x+4．
∵点P（a，b）是曲线y=的MN段（含端点）上的一动点，由点P向x轴、y轴作垂线PE、PD．垂足是E、D，与线段AB分别交于F、G，
∴ab=8，点F的纵坐标为b，点G的横坐标为a．
当y=b时，x=b-4，则点F的坐标为（4-b，b）；
当x=a时，y=-a+4，则点G的坐标为（a，4-a）；
②∵OA=OB=4，∠AOB=90°，
∴∠OBG=∠FAO=45°．
∵AF==b，BG==a，
∴AF•BG=b•a=2ab=2×8=16=OA•OB，
∴OB：AF=BG：OA．
在△BOG与△AFO中，

∴△BOG∽△AFO；
③∵S_△BON=•OB•BN=4，OB=4，
∴BN=2，
∴N点坐标为（2，4）．
∵点P（a，b）在曲线y=的MN段（含端点）上移动，M（4，2），
∴2≤a≤4．
若△OFG是等腰三角形，分三种情况：
Ⅰ）如果OF=OG，那么（4-b）²+b²=（4-a）²+a²，
整理，得a²-b²-4a+4b=0，
（a-b）（a+b-4）=0，
∴a-b=0或a+b-4=0，
∵ab=8，∴b=，
∴a+b-4=0时，a+-4=0，a²-4a+8=0，△＜0，无解；
∴a=b=2，P点坐标为（2，2）；
Ⅱ）如果FO=FG，那么（4-b）²+b²=2（a+b-4）²，
整理，得a²-8a-4b+24=0，
将b=代入，整理得a³-8a²+24a-32=0，
（a-4）（a²-4a+8）=0，
∵a²-4a+8＞0，
∴a-4=0，a=4，
∴P点坐标为（4，2）；
Ⅲ）如果GO=GF，那么（4-a）²+a²=2（a+b-4）²，
整理，得b²-8b-4a+24=0，
将a代入，整理得b³-8b²+24b-32=0，
（b-4）（b²-4b+8）=0，
∵b²-4b+8＞0，
∴b-4=0，b=4，
∴P点坐标为（2，4）；
综上可知，存在点P（2，2）或（4，2）或（2，4），能使△OFG是等腰三角形．
分析：（1）先将M（4，2）代入y=，运用待定系数法求出反比例函数的解析式，再根据反比例函数比例系数k的几何意义得出S_△AOM=S_△BON=|k|=4，则矩形AOBC的面积为16，又OA=4，根据面积公式得出OB=4，则矩形AOBC是正方形；
（2）①先运用待定系数法求出直线AB的解析式，再将点F的纵坐标b代入，求出点F的横坐标；将点G的横坐标a代入，求出点G的纵坐标；
②由于∠OBG=∠FAO=45°，再根据两点间的距离公式分别求出AF、BG的长度，得出OB：AF=BG：OA，根据两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似即可证明△BOG∽△AFO；
③分三种情况讨论：OF=OG；FO=FG；GO=GF，针对每一种情况，列出方程，解方程即可．
点评：本题考查了反比例函数的综合题，其中涉及到运用待定系数法求函数的解析式，反比例函数的图象与性质，矩形的性质，正方形的判定，相似三角形与等腰三角形的判定，有一定难度，其中（2）中第③小问进行分类讨论是解题的关键．