Question

如图，已知在直角坐标平面内，点A的坐标为（3,0），第一象限内的点P在直线y=2x上，∠PAO=45度．

（1）求点P的坐标；

（2）如果二次函数的图像经过P、O、A三点，求这个二次函数的解析式，并写出它的图像的顶点坐标M；

（3）如果将第（2）小题中的二次函数的图像向上或向下平移，使它的顶点落在直线y=2x上的点Q处，求△APM与△APQ的面积之比．

 

Answer 1

解：（1）过点P作PH⊥OA，垂足为点H．

∵点P在直线上，∴设点P的坐标为．

∵∠PAO=45°，PH⊥OA，∴∠PAO=∠APH=45°．

∴PH=AH=2x．

∵点的坐标为（3,0），∴．

∴．∴点P的坐标为（1,2）．

（2）设所求的二次函数解析式为．

∵图像经过P（1,2）、O（0,0）、A（3,0）三点，

∴

解得

∴所求的二次函数解析式为．

顶点M的坐标为（，）．

（3）根据题意，得点Q的坐标为（，3）．

∵，，

，

∴，

．

∴△APM与△APQ的面积之比为．

另解：根据题意，得点Q的坐标为（，3）．

设图像的对称轴与直线AP相交于点N，则点N的坐标为（，）．

∴，．

∴．

∴，．

∴△APM与△APQ的面积之比为