题目内容

【题目】如图,在平面直角坐标系中,点AB分别在x轴、y轴上.

1)如图1,点A与点C关于y轴对称,点EF分别是线段ACAB上的点(点E不与点AC重合),且∠BEF=∠BAO.若∠BAO2OBE,求证:AFCE

2)如图2,若OAOB,在点A处有一等腰AMN绕点A旋转,且AMMN,∠AMN90°.连接BN,点PBN的中点,试猜想OPMP的数量关系和位置关系,说明理由.

【答案】1)证明见解析;(2OPMPOPMP,理由见解析.

【解析】

1)设∠OBEα,∠AEFβ,证明∠EBC=∠AEFEBEF,进而可以证明AEFCBEAAS),利用全等三角形的对应边相等,即可解答;

2OPMPOPMP,延长MPC,且使PCMP,连接BCMO,延长AMBCD,连接CONO,证明MPN≌△CPBSAS),得到BCMNAM,∠MNP=∠CBP,再证明MOC为等腰直角三角形,根据MPCP,即可得到OPMPOPMP

1)证明:如图1

设∠OBEα,∠AEFβ

∴∠BAO=∠BEF

∵点AC关于y轴对称,

BABC

∴∠BAO=∠BCO

∵∠AEBβ=∠BCO+∠EBC

∴∠EBCβ

即∠EBC=∠AEF

∵∠BFE=∠BAO+∠FEAβ

又∠ABO=∠CBOαβ

∴∠FBEαβαβ

∴∠BFE=∠FBE

EBEF

AEFCBE中,

∴△AEF≌△CBEAAS

AFCE

2OPMPOPMP

理由如下:

延长MPC,且使PCMP,连接BCMO,延长AMBCD,连接CONO

∵点PBN的中点,

PNPB

在△MPN和△CPB中,

∴△MPN≌△CPBSAS

BCMNAM,∠MNP=∠CBP

MNBC

∵∠AMN90°

ADBC

∴∠MAO=∠CBO

∴△MAO≌△CBO(SAS)

∴∠MOA=∠COBMOCO

∴∠MOC=∠MOB+∠BOC=∠MOB+∠MOA=∠AOB90°

∴△MOC为等腰直角三角形,

MPCP

OPMPOPMP

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