题目内容
【题目】如图,在平面直角坐标系中,点A、B分别在x轴、y轴上.
(1)如图1,点A与点C关于y轴对称,点E、F分别是线段AC、AB上的点(点E不与点A、C重合),且∠BEF=∠BAO.若∠BAO=2∠OBE,求证:AF=CE;
(2)如图2,若OA=OB,在点A处有一等腰△AMN绕点A旋转,且AM=MN,∠AMN=90°.连接BN,点P为BN的中点,试猜想OP和MP的数量关系和位置关系,说明理由.
【答案】(1)证明见解析;(2)OP⊥MP且OP=MP,理由见解析.
【解析】
(1)设∠OBE=α,∠AEF=β,证明∠EBC=∠AEF,EB=EF,进而可以证明△AEF和△CBE(AAS),利用全等三角形的对应边相等,即可解答;
(2)OP=MP且OP⊥MP,延长MP至C,且使PC=MP,连接BC、MO,延长AM交BC于D,连接CO,NO,证明△MPN≌△CPB(SAS),得到BC=MN=AM,∠MNP=∠CBP,再证明△MOC为等腰直角三角形,根据MP=CP,即可得到OP⊥MP且OP=MP.
(1)证明:如图1,
设∠OBE=α,∠AEF=β,
∴∠BAO=∠BEF=2α,
∵点A、C关于y轴对称,
∴BA=BC,
∴∠BAO=∠BCO=2α,
∵∠AEB=2α+β=∠BCO+∠EBC,
∴∠EBC=β,
即∠EBC=∠AEF,
∵∠BFE=∠BAO+∠FEA=2α+β,
又∠ABO=∠CBO=α+β,
∴∠FBE=α+β+α=2α+β,
∴∠BFE=∠FBE,
∴EB=EF,
在△AEF和△CBE中,
,
∴△AEF≌△CBE(AAS)
∴AF=CE;
(2)OP=MP且OP⊥MP,
理由如下:
延长MP至C,且使PC=MP,连接BC、MO,延长AM交BC于D,连接CO,NO,
∵点P为BN的中点,
∴PN=PB,
在△MPN和△CPB中,
,
∴△MPN≌△CPB(SAS)
∴BC=MN=AM,∠MNP=∠CBP,
∴MN∥BC,
∵∠AMN=90°,
∴AD⊥BC,
∴∠MAO=∠CBO,
∴△MAO≌△CBO(SAS),
∴∠MOA=∠COB,MO=CO,
∴∠MOC=∠MOB+∠BOC=∠MOB+∠MOA=∠AOB=90°,
∴△MOC为等腰直角三角形,
∵MP=CP,
∴OP⊥MP且OP=MP.