Question

如图，⊙O₁和⊙O内切于点A，AB为⊙O的直径，点O₁在OA上，⊙O的弦BC切⊙O₁于点D，两圆的半径R=4，r=3．
（1）求BD的长；
（2）求CD的长．

Answer 1

解：（1）连接O₁D，AC，
∵BD切圆O₁于D，
∴∠BDO₁=90°，
由勾股定理得：O₁D²+BD²=BO₁²，
即3²+BD²=（2×4-3）²，
解得：BD=4．
答：BD的长是4．

（2）∵AB是直径，
∴∠ACB=90°=∠O₂DB，
∵∠B=∠B，
∴△BDO₁∽△BCA，
∴=，
即=，
∴BC=，
∴CD=-4=．
答：CD的长是．
分析：（1）根据切线的性质求出∠BDO₁=90°，根据勾股定理求出即可；
（2）求出∠ACB=90°，推出△BDO₁∽△BCA，得到比例式，代入求出BC即可．
点评：本题主要考查对相切两圆的性质，切线的性质，勾股定理，相似三角形的性质和判定，圆周角定理等知识点的理解和掌握，能求出BD和BC的长是解此题的关键．