题目内容
【题目】如图，已知抛物线
与x轴负半轴相交于点A，与y轴正半轴相交于点B，
，直线l过A、B两点，点D为线段AB上一动点，过点D作
轴于点C，交抛物线于点E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若抛物线与x轴正半轴交于点F，设点D的横坐标为x，四边形FAEB的面积为S，请写出S与x的函数关系式，并判断S是否存在最大值，如果存在，求出这个最大值；并写出此时点E的坐标；如果不存在，请说明理由．
（3）连接BE，是否存在点D，使得
和
相似？若存在，求出点D的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】（1）
；（2）
与x的函数关系式为
，S存在最大值，最大值为18，此时点E的坐标为
．（3）存在点D，使得
和
相似，此时点D的坐标为
或
．
【解析】
利用二次函数图象上点的坐标特征可得出点A、B的坐标，结合
即可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出结论；
由点A、B的坐标可得出直线AB的解析式
待定系数法
，由点D的横坐标可得出点D、E的坐标，进而可得出DE的长度，利用三角形的面积公式结合
即可得出S关于x的函数关系式，再利用二次函数的性质即可解决最值问题；
由
、
，利用相似三角形的判定定理可得出：若要和相似，只需
或
，设点D的坐标为
，则点E的坐标为
，进而可得出DE、BD的长度
当时，利用等腰直角三角形的性质可得出
，进而可得出关于m的一元二次方程，解之取其非零值即可得出结论；
当
时，由点B的纵坐标可得出点E的纵坐标为4，结合点E的坐标即可得出关于m的一元二次方程，解之取其非零值即可得出结论
综上即可得出结论．
当
时，有
，
解得：
，
，
点A的坐标为
．
当
时，
，
点B的坐标为
．
，
，解得：
，
抛物线的解析式为．
点A的坐标为，点B的坐标为
，
直线AB的解析式为
．
点D的横坐标为x，则点D的坐标为
，点E的坐标为
，
如图
．
点F的坐标为
，点A的坐标为，点B的坐标为，
，
，
，
．
，
当
时，S取最大值，最大值为18，此时点E的坐标为，
与x的函数关系式为，S存在最大值，最大值为18，此时点E的坐标为．
，，
若要和相似，只需或
如图
．
设点D的坐标为，则点E的坐标为，
，
当时，，
，
，
为等腰直角三角形．
，即
，
解得：
舍去，
，
点D的坐标为；
当时，点E的纵坐标为4，
，
解得：
，
舍去，
点D的坐标为．
综上所述：存在点D，使得和相似，此时点D的坐标为或．
故答案为：（1）；（2）与x的函数关系式为，S存在最大值，最大值为18，此时点E的坐标为．（3）存在点D，使得和相似，此时点D的坐标为或．
