Question

如图，在梯形ABCD中，AD // BC，∠ABC = 90°，AB = 4，AD = 3，BC = 5，点M是边CD的中点，联结AM、BM．

求：（1）△ABM的面积；
（2）∠MBC的正弦值．

Answer 1

（1）8（2）

（1）延长AM交BC的延长线于点N，
∵AD∥BC，
∴∠DAM=∠N，∠D=∠MCN，
∵点M是边CD的中点，
∴DM=CM，
∴△ADM≌△NCM（AAS），
∴CN=AD=3，AM=MN=AN，
∴BN=BC+CN=5+3=8，
∵∠ABC=90°，
∴S_△ABN=×AB•BN=×4×8=16，
∴S_△ABM=S_△ABN=8；
∴△ABM的面积为8；………………………………4分
（2）过点M作MK⊥BC，
∵∠ABC=90°，
∴MK∥AB，
∴△NMK∽△NAB，
∴，
∴MK=AB=2，
在Rt△ABN中，AN===4，
∴BM=AN=2，
在Rt△BKM中，sin∠MBC==．
∴∠MBC的正弦值为．………………………………4分
（1）首先作辅助线：延长AM交BC的延长线于点N，然后利用梯形的性质，即可证得△ADM≌△NCM（AAS），根据全等三角形的性质，即可求得CN的长，即可求得Rt△ABN的面积，则可求得△ABM的面积；
（2）作辅助线：过点M作MK⊥BC，构造Rt△BKM，即可求得∠MBC的正弦值．