Question

【题目】如图，△ABC是等腰直角三角形，AC=BC=a，以斜边AB上的点O为圆心的圆分别与AC，BC相切于点E，F，与AB分别交于点G，H，且EH的延长线和CB的延长线交于点D，则CD的长为 ．

Answer 1

【答案】 a
【解析】解：如图，连接OE、OF，
∵由切线的性质可得OE=OF=⊙O的半径，∠OEC=∠OFC=∠C=90°，
∴OECF是正方形，
∵由△ABC的面积可知 ×AC×BC= ×AC×OE+ ×BC×OF，
∴OE=OF= a=EC=CF，BF=BC﹣CF=0.5a，GH=2OE=a，
∵由切割线定理可得BF2=BHBG，
∴ a2=BH（BH+a），
∴BH= a或BH= a（舍去），
∵OE∥DB，OE=OH，
∴△OEH∽△BDH，
∴ ，
∴BH=BD，CD=BC+BD=a+ a= a．
故答案为： a．
连接OE、OF，由切线的性质结合结合直角三角形可得到正方形OECF，并且可求出⊙O的半径为0.5a，则BF=a﹣0.5a=0.5a，再由切割线定理可得BF2=BHBG，利用方程即可求出BH，然后又因OE∥DB，OE=OH，利用相似三角形的性质即可求出BH=BD，最终由CD=BC+BD，即可求出答案．