Question

如图1，正方形ABCD和过其对角线交点O的正方形OEFG的边长相等，OE交AB于M，OG交BC于N．
（1）求证：△AOM≌△BON；
（2）当四边形MONB的面积为1时，求正方形的边长；
（3）在（2）的条件下，如果正方形OEFG绕点O逆时针转动，使顶点E刚好落在CB的延长线上如图2，并过O作OH⊥BC垂足为H，求MB的长．

Answer 1

（1）证明：∵∠AOM+∠BOM=90°，∠BON+∠BOM=90°，
∴∠AOM=∠BON，
∵四边形ABCD和四边形OEFG都是正方形，
∴AO=BO，∠OAM=∠OBN=45°，
在△AOM和△BON中，

∠AOM=∠BON AO=BO ∠OAM=∠OBN

，
∴△AOM≌△BON（ASA）；

（2）∵△AOM≌△BON，
∴△AOM的面积=△BON的面积，
∴四边形MONB的面积=

1

4

正方形ABCD的面积，
∵四边形MONB的面积为1，
∴正方形ABCD的面积=4，
∴正方形ABCD的边长为2；

（3）∵OH⊥BC，
∴OH=

1

2

×2=1，
又∵OE=2，
∴∠OEH=30°，
∴BH=OH=1，EH=

22-12

=

3

，
∴EB=EH-BH=

3

-1，
在Rt△EBM中，MB=EB•tan30°=（

3

-1）×

3

3

=1-

3

3

．