题目内容
【题目】如图,在△ABC中,AB=AC,AD是∠BAC的平分线,AE是∠BAC的外角平分线,ED∥AB交AC于点G.下列结论:①AD⊥AE;②AE∥BC;③AE=AG;④AG=DE.正确的是________.(填序号)
【答案】①②④
【解析】(1)∵AD是∠BAC的平分线,AE是与∠BAC相邻的外角的平分线,
∴∠DAE=∠CAD+∠EAC=∠FAB=90°,
∴AD⊥AE,即①正确;
(2)∵AB=AC,AD是∠BAC的平分线,
∴AD⊥BC,
又∵AD⊥AE,
∴AE∥BC,即②正确;
(3)∵AE∥BC,
∴∠E=∠EDC,
∵ED∥AB,
∴∠E=∠EDC=∠B,∠AGE=∠BAC,
∵等腰△ABC的顶角和底角不一定相等,
∴不能确定∠E是否等于∠AGE,
∴AE=AG不一定成立,即③不成立;
(4)∵AE∥BC,AD是∠BAC的平分线,
∴∠ADG=∠BAD,∠BAD=∠GAD,
∴∠ADG=∠GAD,
∴AG=DG.
∵AE∥BC,
∴∠GAE=∠C,
又∵∠E=∠EDC=∠B,∠B=∠C,
∴∠GAE=∠E,
∴AG=GE,
∴AG=(DG+GE)=DE,即④成立;
综上所述,正确的结论是:①②④.
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