题目内容

【题目】如图,已知△ABC中,∠C=90°,D为AB的中点,E、F分别在AC、BC上,且DE⊥DF.

求证:AE2+BF2=EF2.

【答案】证明见解析

【解析】

过点AAM∥BC,交FD延长线于点M,连接EM,根据平行线的性质得到∠MAE=∠ACB=90°,∠MAD=∠B,通过“边角边”证明△ADM≌△BDF,则AM=BF,MD=DF,再根据“三线合一”得到EF=EM,Rt△AEM中利用勾股定理即可得证.

证明:过点AAM∥BC,交FD延长线于点M,连接EM,

∵AM∥BC,
∴∠MAE=∠ACB=90°,∠MAD=∠B,
∵AD=BD,∠ADM=∠BDF,
∴△ADM≌△BDF(SAS),
∴AM=BF,MD=DF,
又∵DE⊥DF,

∴EF=EM,
∴AE2+BF2=AE2+AM2=EM2=EF2

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