Question

如图，△P₁OA₁、△P₂A₁A₂是等腰直角三角形，点P₁、P₂在函数y=

4

x

(x＞0)的图象上，斜边OA₁、A₁A₂都在x轴上，则O

A

2 2

等于（　　）

A．8

B．16

C．32

D．64

Answer 1

分析：作P₁M⊥x轴，P₂N⊥x轴，分别交x轴于P₁，P₂两点，如图所示，由△P₁OA₁、△P₂A₁A₂是等腰直角三角形，利用三线合一得到M、N分别为OA₁与A₁A₂的中点，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到P₁M=OM=MA₁，P₂N=A₁N=NA₂，设出P₁坐标为（a，a），代入反比例解析式中求出a的值，进而得到OA₁=2OM=4，由此设出P₂为（m+4，m），代入反比例解析式中求出m的值，确定出A₁A₂的长，由OA₁+A₁A₂得到OA₂的长，即可求出其平方的值．

解答：解：作P₁M⊥x轴，P₂N⊥x轴，分别交x轴于P₁，P₂两点，如图所示，
∵△P₁OA₁、△P₂A₁A₂是等腰直角三角形，
∴P₁M=OM=MA₁，P₂N=A₁N=NA₂，
设P₁（a，a），
∵P₁在反比例函数y=

4

x

上，
∴a²=4，即a=2，（P₁在第一象限，-2舍去）
∴P₁（2，2），即P₁M=OM=MA₁=2，OA₁=2OM=4，
设P₂N=A₁N=NA₂=b，则P₂坐标为（b+4，b），
∵P₂在反比例函数y=

4

x

上，
∴b（b+4）=4，
整理得：（b+2）²=8，
开方得：b+2=2

2

或b+2=-2

2

，
解得：b=2

2

-2或b=-2

2

-2（舍去），
∴P₂N=A₁N=NA₂=2

2

-2，A₁A₂=2A₁N=4

2

-4，
则OA₂²=（OA₁+A₁A₂）²=（4+4

2

-4）²=32．
故选C．

点评：此题考查了反比例函数综合题，涉及的知识有：等腰直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线性质，坐标与图形性质，以及反比例函数的图象与性质，熟练掌握性质是解本题的关键．