题目内容
【题目】如图①，已知直线PQ∥MN，点A在直线PQ上，点C，D在直线MN上，连接AC，AD，∠PAC=50°，∠ADC=30°，AE平分∠PAD，CE平分∠ACD，AE与CE相交于点E．
（1）求∠AEC的度数；
（2）若将图①中的线段AD沿MN向右平移到A1D1如图②所示位置，此时A1E平分∠AA1D1，
CE平分∠ACD1，A1E与CE相交于E，∠PAC=50°，∠A1D1C=30°，求∠A1EC的度数；
（3）若将图①中的线段AD沿MN向左平移到A1D1如图③所示位置，其他条件与（2）相同，求此时∠A1EC的度数(直接写出结果)．
【答案】（1）130°；（2）130°；（3）40°．
【解析】（1）由直线PQ∥MN，∠ADC=∠QAD=30°，可得∠PAD=150°，再求∠PAE=75°，
可得∠CAE=25°；由∠PAC=∠ACN，求得∠ECA=25°，故∠AEC=180°﹣25°﹣25°；
（2）先求出∠QA1D1=30°，∠PA1D1=150°，再求出∠PA1E=∠EA1D1=75°，
再求出∠CAQ=130°，∠ACN=50°，根据平分线定义得∠ACE=25°，再利用四边形内角和性质可求∠CEA1；
（3）根据平行线性质和角平分线定义可求得∠QA1E=∠2=15°，∠ACE=∠ECN=∠1=25°，
所以∠CEA1=∠1+∠2=15°+25°.
解：（1）如图1所示：
∵直线PQ∥MN，∠ADC=30°，
∴∠ADC=∠QAD=30°，
∴∠PAD=150°，
∵∠PAC=50°，AE平分∠PAD，
∴∠PAE=75°，
∴∠CAE=25°，
可得∠PAC=∠ACN=50°，
∵CE平分∠ACD，
∴∠ECA=25°，
∴∠AEC=180°﹣25°﹣25°=130°；
（2）如图2所示：
∵∠A1D1C=30°，线段AD沿MN向右平移到A1D1，PQ∥MN，
∴∠QA1D1=30°，
∴∠PA1D1=150°，
∵A1E平分∠AA1D1，
∴∠PA1E=∠EA1D1=75°，
∵∠PAC=50°，PQ∥MN，
∴∠CAQ=130°，∠ACN=50°，
∵CE平分∠ACD1，
∴∠ACE=25°，
∴∠CEA1=360°﹣25°﹣130°﹣75°=130°；
（3）如图3所示：
过点E作FE∥PQ，
∵∠A1D1C=30°，线段AD沿MN向左平移到A1D1，PQ∥MN，
∴∠QA1D1=30°，
∵A1E平分∠AA1D1，
∴∠QA1E=∠2=15°，
∵∠PAC=50°，PQ∥MN，
∴∠ACN=50°，
∵CE平分∠ACD1，
∴∠ACE=∠ECN=∠1=25°，
∴∠CEA1=∠1+∠2=15°+25°=40°．
