Question

已知抛物线的函数关系式：y=x²+2（a-1） x+a²-2a（其中x是自变量），
（1）点P（2，3）在此抛物线上，求a的值；
（2）设此抛物线与x轴交于点A（x₁，0）、B（x₂，0）．若x₁＜＜x₂，且抛物线的顶点在直线x=的左侧，求a的取值范围．

Answer 1

解：（1）由题意得，3=4+2（a-1）×2+a²-2a，
整理得，a²+2a-3=0，
解得，a₁=-3，a₂=1，

（2）由题意得，x²+2（a-1）x+a²-2a=0，
解得，x₁=-a，x₂=-a+2，
∵x₁＜＜x₂，
∴-a＜＜-a+2，
解得-＜a＜2-，
可以解得顶点坐标为（1-a，-1），
∴1-a＜，
解得a＞，
∴＜a＜2-．
分析：（1）将P点坐标代入抛物线的解析式中即可求出a的值，
（2）本题可从两方面考虑：①根据x₁＜＜x₂，以及抛物线的开口向上可得出当x=时，函数值必小于0，由此可得出一个a的取值范围，②由于抛物线的顶点在直线x=的左侧，也就是说抛物线的对称轴在x=的左侧，由此可得出另一个a的取值范围．结合两种情况即可求出a的取值范围．
点评：本题主要考查了二次函数图象的特点及图象与x轴的交点的特点，难度适中．