Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，点是原点，矩形的顶点在轴的正半轴上，顶点在轴的正半轴上，顶点的坐标为，抛物线经过，两点，与轴的另一个交点为点．

（1）如图1，求抛物线的函数表达式；

（2）如图2，连接，，将沿折叠后与、轴分别交于点，，求的长度；

（3）如图3，将抛物线在上方的部分沿折叠后与轴交于点，求点的坐标．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）．

【解析】

（1）根据矩形性质分析出，，然后用待定系数法求函数解析式；（2）由折叠的性质可得，然后结合全等三角形的性质，平行线的性质及等腰三角形的判定得到．设，则，利用勾股定理列方程求解；（3）在AC上方的抛物线图象取点F的对称点F′，过点F′作y轴的平行线交直线AC于点G．先证F′A=F′G．继而得直线AC的解析式为y=-2x+4．设点F（n，-2n2+2n+4），则G（n，-2n+4）．根据F′A2=F′G2求出n的值，从而得出FG＝，F′A=F′G=FA=，从而得出点F的坐标．

解：（1）四边形是矩形，，

，，

抛物线经过，两点，

抛物线的函数表达式为．

（2）由题意得：，

．

，

，

，

．

设，则．

在中，

解得，

．

（3）如图，在上方的抛物线上取点的对称点，过点作轴的平行线交直线于点．

由题意得：，．

，

，

，

．

易得直线的解析式为：．

设点，则

，．

，

，

即：，

化简得：，即，

解得(不合题意，舍去)或，

，

，