Question

【题目】已知如图，正方形ABCD的边长为4，取AB边上的中点E，连接CE，过点B作BF⊥CE于点F，连接DF．过点A作AH⊥DF于点H，交CE于点M，交BC于点N，则MN=_____．

Answer 1

【答案】1

【解析】

如图，延长DF交AB于P．首先证明EF：CF=1：4，由△ADP≌△BAN，推出BN=AP，DP=AN，由PE∥DC，推出PE：DC=EF：CF=1：4，推出PE=BP=1，再证明∠NCM=∠NMC即可解决问题；

解：如图，延长DF交AB于P．

∵四边形ABCD是正方形，

∴AD=AB，∠ABN=∠DAP=90°，

∵AN⊥DP， ∴∠APD+∠PAH=90°，∠ANB+∠PAH=90°，

∴∠APD=∠ANB，

∴△ADP≌△BAN， ∴AN=DP， BN=AP，

∵BF⊥EC， ∴∠EBF+∠BEF=90°，∠BCE+∠BEC=90°，

∴∠EBF=∠BCE，

∴tan∠EBF=tan∠BCE= ，

∵AB=BC，BE=AE，

∴tan∠EBF=tan∠BCE=，

设EF=a，则BF=2a，CF=4a，

∵PE∥DC，

∴

∵CD=4， ∴PE=1，

∵BE=2， ∴PE=PB=1，

∴PF=BE=1，AP=3，

在Rt△ADP中，DP=

∴DF=4，BN=AP=3，CN=1，

∴BC=DF， ∴∠DFC=∠DCF，

∵∠BCE+∠DCF=90°，∠FMH+∠DFC=90°，∠FMH=∠NMC，

∴∠NCM=∠NMC，

∴MN=CN=1．

故答案为1．