Question

【题目】已知直线与抛物线有一个公共点，且．

（Ⅰ）求抛物线顶点的坐标（用含的代数式表示）；

（Ⅱ）说明直线与抛物线有两个交点；

（Ⅲ）直线与抛物线的另一个交点记为．

（ⅰ）若，求线段长度的取值范围；

（ⅱ）求面积的最小值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）抛物线顶点Q的坐标为（-，-）；（Ⅱ）理由见解析；

（Ⅲ）（i）5≤MN≤7.（ii）△QMN面积的最小值为.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）由抛物线过点M（1，0），可得b=-2a，将解析式y=ax2+ax+b=ax2+ax-2a配方得y=a(x+ )2- ,从而可得抛物线顶点Q的坐标为（- ，- ）.

（Ⅱ）由直线y=2x+m经过点M（1，0），可得m=-2.

由y=2x-2、y=ax2+ax-2a，可得ax2+（a-2）x-2a+2=0，（*），由根的判别式可得方程(*)有两个不相等的实数根，从而可得直线与抛物线有两个交点.

（Ⅲ）由y=2x-2、y=ax2+ax-2a，可得点N（-2，-6）.

（i）根据勾股定理得，MN2=20（）2，再由-1≤a≤-，可得-2≤ ≤-1，从而可得<0，

继而可得MN=3 ，从而可得MN的取值范围.

（ii）作直线x=- 交直线y=2x-2于点E，得 E（-，-3），

从而可得△QMN的面积S=S△QEN+S△QEM = ，即27a2+(8S-54)a+24=0，（*）

因为关于a的方程（*）有实数根， 从而可和S≥ ，继而得到面积的最小值.

试题解析：（Ⅰ）因为抛物线过点M（1，0），所以a+a+b=0，即b=-2a，所以y=ax2+ax+b=ax2+ax-2a=a(x+)2- ,所以抛物线顶点Q的坐标为（-，-）.

（Ⅱ）因为直线y=2x+m经过点M（1，0），所以0=2×1+m，解得m=-2.

把y=2x-2代入y=ax2+ax-2a，得ax2+（a-2）x-2a+2=0，（*），所以△=(a-2)2-4a(-2a+2)=9a2-12a+4由（Ⅰ）知b=-2a，又a<b，所以a<0，b>0，所以△>0，所以方程(*)有两个不相等的实数根，故直线与抛物线有两个交点.

（Ⅲ）把y=2x-2代入y=ax2+ax-2a，得ax2+（a-2）x-2a+2=0，

即x2+(1- )x-2+=0，所以（x-1）（x+2-）=0,

解得x1=1,x2 =-2，所以点N（-2，-6）.

（i）根据勾股定理得，MN2=[（-2）-1]2+（-6）2=20（）2，

因为-1≤a≤-，由反比例函数性质知-2≤ ≤-1，所以<0，

所以MN=2 （ ）=3 ，所以5≤MN≤7.

（ii）作直线x=- 交直线y=2x-2于点E，把x=-代入y=2x-2得，y=-3，即E（-，-3），

又因为M（1，0），N（-2，-6），且由（Ⅱ）知a<0，

所以△QMN的面积S=S△QEN+S△QEM= = ，

即27a2+(8S-54)a+24=0，（*）

因为关于a的方程（*）有实数根，所以△=（8S-54）2-4×27×24≥0，即（8S-54）2≥（36 ）2，

又因为a<0，所以S= > ,所以8S-54>0，所以8S-54>0，

所以8S-54≥36，即S≥ ，

当S=时，由方程（*）可得a=- 满足题意.

故当a=-，b =时，△QMN面积的最小值为.