题目内容
【题目】如图,在矩形ABCD中,,
的平分线交边BC于点E,
于点H,连接CH并延长交边AB于点F,连接AE交CF于点O,给出下列命题:
,
,其中正确命题的序号
A. B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
(1)根据矩形的性质得到AD=BC=AB=
CD,由DE平分∠ADC,得到△ADH是等腰直角三角形,△DEC是等腰直角三角形,得到DE=
CD,得到等腰三角形DAE,求出∠AED=67.5°,∠AEB=67.5°,得到(1)正确;
(2)设DH=1,则AH=DH=1,AD=DE=,求出HE=
﹣1,得到2
HE≠1,所以(2)不正确;
(3)通过角的度数求出△AOH和△OEH是等腰三角形,从而得到(3)正确;
(4)由△AFH≌△CHE,到AF=EH,由△ABE≌△AHE,得到BE=EH,于是得到BC﹣BF=(BE+CE)﹣(AB﹣AF)=(CD+EH)﹣(CD﹣EH)=2EH,从而得到(4)不正确.
(1)在矩形ABCD中,AD=BC=AB=
CD,∠ADC=∠BCD=90°.
∵DE平分∠ADC,∴∠ADE=∠CDE=45°.
∵AH⊥DE,∴△ADH是等腰直角三角形,∴AD=AH,∴AH=AB=CD.
∵△DEC是等腰直角三角形,∴DE=CD,∴AD=DE,∴∠AED=67.5°,∴∠AEB=180°﹣45°﹣67.5°=67.5°,∴∠AEH=∠AEB,所以(1)结论正确;
(2)设DH=1,则AH=DH=1,AD=DE=,∴HE=DE﹣DH=
﹣1,∴2
HE=2
(
﹣1)=4﹣2
≠1,所以(2)结论不正确;
(3)∵∠AEH=67.5°,∴∠EAH=22.5°.
∵DH=CD,∠EDC=45°,∴∠DHC=67.5°,∴∠OHA=180°﹣90°﹣67.5°=22.5°,∴∠OAH=∠OHA=22.5°,∴OA=OH,∴∠AEH=∠OHE=67.5°,∴OH=OE=OA,∴OH=AE,所以(3)正确;
(4)∵AH=DH,CD=CE.在△AFH与△CHE中,,∴△AFH≌△CHE,∴AF=EH.在Rt△ABE与Rt△AHE中,
,∴△ABE≌△AHE,∴BE=EH,∴BC﹣BF=(BE+CE)﹣(AB﹣AF)=(CD+EH)﹣(CD﹣EH)=2EH,所以(4)不正确.
故选D.
