题目内容
如图，在平面直角坐标系中，四边形
为矩形，
，
，
为直线
上一动点，将直线
绕点逆时针方向旋转
交直线
于点
；
（1）当点在线段上运动（不与
重合）时，求证：OA·BQ=AP·BP；
（2）在（1）成立的条件下，设点的横坐标为
，线段
的长度为
，求出关于的函数解析式，并判断是否存在最小值，若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由。
（3）直线上是否存在点，使
为等腰三角形，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由。
为矩形，，，为直线上一动点，将直线绕点逆时针方向旋转交直线于点；（1）当点
在线段上运动（不与重合）时，求证：OA·BQ=AP·BP；（2）在（1）成立的条件下，设点
的横坐标为，线段的长度为，求出关于的函数解析式，并判断是否存在最小值，若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由。（3）直线
上是否存在点，使为等腰三角形，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由。略
（1）证明：∵四边形OABC为矩形
∴∠OAP=∠QBP=90°，
∵∠OPQ=90°, ∴∠APO+∠BPQ=90
=∠APO+∠AOP
∴∠BPQ=∠AOP, ∴△AOP∽△BPQ
∴
∴OA·BQ=AP·BP ----------------------3分
(2) 由（1）知OA·BQ=AP·BP ∴3×BQ="m(4-m) " ∴BQ=
∴CQ=3-=
即L= (0＜m＜4)
=
∴当m="2" 时， L（最小）=
-----------------6分
(3)∵∠OPQ=90°,∴要使△POQ为等腰三角形，则PO="PQ" .
当点P在线段AB上时，如图
AOP≌△BPQ ∴PB="AO=3 "
∴AP=4-3=1
∴
(1,3)
当点P在线段AB的延长线上时，如图
此时△QBP≌△PAO
∴PB="AO=3 " ∴AP="4+3=7 "
∴
(7,3)
当点P在线段AB的反向延长线上时，如图
此时∵PB＞AB＞AO,
∴△PQB不可能与△OPA全等,
即PQ不可能与PO相等,
此时点P不存在.
综上所述，知存在(1,3), (7,3). ---------------9分
∴∠OAP=∠QBP=90°，
∵∠OPQ=90°, ∴∠APO+∠BPQ=90
=∠APO+∠AOP∴∠BPQ=∠AOP, ∴△AOP∽△BPQ
∴
∴OA·BQ=AP·BP ----------------------3分
(2) 由（1）知OA·BQ=AP·BP ∴3×BQ="m(4-m) " ∴BQ=
∴CQ=3-
=即L=
(0＜m＜4)=
∴当m="2" 时， L（最小）=
-----------------6分(3)∵∠OPQ=90°,∴要使△POQ为等腰三角形，则PO="PQ" .
当点P在线段AB上时，如图
AOP≌△BPQ ∴PB="AO=3 "
∴AP=4-3=1
∴
(1,3)当点P在线段AB的延长线上时，如图
此时△QBP≌△PAO
∴PB="AO=3 " ∴AP="4+3=7 "
∴
(7,3) 当点P在线段AB的反向延长线上时，如图
此时∵PB＞AB＞AO,
∴△PQB不可能与△OPA全等,
即PQ不可能与PO相等,
此时点P不存在.
综上所述，知存在
(1,3), (7,3). ---------------9分
练习册系列答案
相关题目
轴上确定点P，使△AOP为等腰三角形，则符合条件的有_______个．
与
之间的函数关系的图象是
的顶点都在格点上，在方格纸中建立平面直角坐标系如图所示．
轴的对称图形△
，并写出△
顺时针旋转
得到△
，在图中画出△