题目内容

若关于x的二次函数y=x²-2mx+1的图象与端点在（-1，1）和（3，4）的线段只有一个交点，则m的值可能是

A.
$数学公式$
B.
$数学公式$
C.
$数学公式$
D.
$数学公式$

A
分析：由于二次函数y=x²-2mx+1的图象开口向上且过（0，1），与端点在（-1，1）和（3，4）的线段只有一个交点，则与过（-1，1）和（3，4）直线有两个交点，求出直线解析式，进而得出x²-（2m+ $\text{[math]}$ ）x- $\text{[math]}$ =0在[-1，3]上有且仅有一个解，则f（x）=x²-（2m+ $\text{[math]}$ ）x- $\text{[math]}$ ，可以得出：f（-1）×f（3）≤0，然后解关于m的不等式．
解答：∵设直线AB过点（-1，1）和（3，4），
∴设直线AB的解析式为：y=kx+b，将两点代入解析式得：
$\text{[math]}$ ，
解得： $\text{[math]}$
故AB直线方程为：y= $\text{[math]}$ x+ $\text{[math]}$ ，
根据y= $\text{[math]}$ x+ $\text{[math]}$ 与y=x²-2mx+1在x=[-1，3]上有且仅有一个交点，
即 $\text{[math]}$ x+ $\text{[math]}$ =x²-2mx+1，
故x²-（2m+ $\text{[math]}$ ）x- $\text{[math]}$ =0在[-1，3]上有且仅有一个解，
f（x）=x²-（2m+ $\text{[math]}$ ）x- $\text{[math]}$ ，可以得出：f（-1）×f（3）≤0
则[1+2m]×[9-3（2m+ $\text{[math]}$ ）- $\text{[math]}$ ]≤0
（1+2m）（-6m+6）≤0
即（1+2m）（6m-6）≥0，
即 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ ，
解得：m≥1或m≤- $\text{[math]}$ ．
只有 $\text{[math]}$ 在这个范围内，
故选：A．
点评：本题考查了二次函数的性质，利用函数的单调性求函数f（x）=x²-（2m+ $\text{[math]}$ ）x- $\text{[math]}$ 在区间[-1，3]上的值域是解决此题的关键．