Question

已知关于x的方程mx²-（3m-1）x+2m-2=0．
（1）求证：无论m取任何实数时，方程恒有实数根；
（2）若关于x的二次函数y=mx²-（3m-1）x+2m-2的图象与x轴两交点间的距离为2时，求抛物线的解析式；
（3）在直角坐标系xoy中，画出（2）中的函数图象，结合图象回答问题：当直线y=x+b与（2）中的函数图象只有两个交点时，求b的取值范围．

Answer 1

分析：（1）本题中，二次项系数m的值不确定，分为m=0，m≠0两种情况，分别证明方程有实数根；
（2）设抛物线与x轴两交点的横坐标为x₁，x₂，则两交点之间距离为|x₁-x₂|=2，再与根与系数关系的等式结合变形，可求m的值，从而确定抛物线的解析式；
（3）分三种情况：只与抛物线y₁有两个交点，只与抛物线y₂有两个交点，直线过抛物线y₁、y₂的交点，观察图象，分别求出b的取值范围．

解答：解：（1）分两种情况讨论．
①当m=0时，方程为x-2=0，x=2．
∴m=0时，方程有实数根．
②当m≠0时，则一元二次方程的根的判别式
△=[-（3m-1）]²-4m（2m-2）
=9m²-6m+1-8m²+8m=m²+2m+1
=（m+1）²≥0，
∴m≠0时，方程有实数根．
故无论m取任何实数时，方程恒有实数根．
综合①②可知，m取任何实数，方程mx²-（3m-1）x+2m-2=0恒有实数根；

（2）设x₁，x₂为抛物线y=mx²-（3m-1）x+2m-2与x轴交点的横坐标，
则x₁+x₂=

3m-1

m

，x₁x₂=

2m-2

m

．
由|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

9m2-6m+1 m2 - 8m2-8m m2

=

m2+2m+1 m2

=

(m+1)2 m2

=|

m+1

m

|．
由|x₁-x₂|=2，得|

m+1

m

|=2，
∴

m+1

m

=2或

m+1

m

=-2．
∴m=1或m=-

1

3

．
∴所求抛物线的解析式为y₁=x²-2x，
y₂=-

1

3

（x-2）（x-4）．
其图象如右图所示：

（3）在（2）的条件下y=x+b与抛物线
y₁，y₂组成的图象只有两个交点，结合图象求b的取值范围．

y1=x2-2x y=x+b

，
当y₁=y时，得x²-3x-b=0，有△=9+4b=0得b=-

9

4

．
同理

y2=- 1 3 x2+2x- 8 3 y=x+b

，△=9-4（8+3b）=0，得b=-

23

12

．
观察图象可知，
当b＞-

9

4

，或b＜-

23

12

直线y=x+b与（2）中的图象只有两个交点；
由

y1=x2-2x y2=- 1 3 (x-2)(x-4)

，
当y₁=y₂时，有x=2或x=1．
当x=1时，y=-1．
所以过两抛物线交点（1，-1），（2，0）的直线为y=x-2．
综上所述可知：当b＜-

9

4

或b＞-

23

12

或b=-2时，
直线y=x+b与（2）中图象只有两个交点．

点评：本题具有较强的综合性，考查了一元二次方程的根的情况，二次函数与对应的一元二次方程的联系，讨论一次函数与二次函数图象交点的情况．