题目内容

在△ABC中，∠ACB=90°，O为AC上的动点．
（1）当OA=
1
2
AC时，以O为圆心，OA的长为半径的圆与AB交于D，连接CD（如图），则图中相似的三角形有
 
；
（2）当OA满足
1
2
AC＜OA＜AC时，以O为圆心，OA的长为半径的圆交AB于D，交AC的延长线于E（如图）．
①请你在图中适当添加一条辅助线，然后找出图中相似三角形（注：相似三角形只限于使用图中的六个字精英家教网母），并加以证明；
②若⊙O的半径为5，AD=8，求tanB．
分析：（1）连接CD，易得OA=
1
2
AC，且AC是圆的直径，根据直径所对的圆周角就得到∠CDB=90°，而∠ACB=90°，所以图中就有三对相似三角形；
（2）①当OA满足
1
2
AC＜OA＜AC时，连接DE，则△ADE∽△ACB．AE是圆的直径可以得到∠ADE=90°，再根据已知∠ACB=90°，就可以证明△ADE∽△ACB了．②首先利用勾股定理求出DE，然后利用相似三角形的对应边成比例求出tanB的值了．
解答：精英家教网解：（1）△ACD∽△ABC，△ACD∽△CBD，△ABC∽△CBD．（3分）

（2）①连接DE，则△ADE∽△ACB，理由如下：（5分）
∵AE是⊙O的直径，
∴∠ADE=90°．（6分）
∵∠ACB=90°，
∴∠ADE=∠ACB．（7分）
∵∠A=∠A，
∴△ADE∽△ACB．（8分）
②DE=
AE2-AD2
=
102-82
=6．（9分）
由①知△ADE∽△ACB，∴
AD
AC
=
DE
BC
．（10分）
∴
AC
BC
=
AD
DE
=
8
6
=
4
3
．（11分）
∴tanB=
AC
BC
=
4
3
．（12分）
点评：此题是探究性试题，要理解OA满足的限制条件，根据条件去探究才能正确得到结论．此题主要考查了相似三角形的判定与性质．
练习册系列答案
相关题目
在△ABC中，AC=8，BC=6，AB=10，则△ABC的外接圆半径长为（　　）
A、10B、5C、6D、4
精英家教网如图，在△ABC中，AC=
 
．
17、在△ABC中，AC=5，中线AD=4，那么边AB的取值范围为（　　）
如图所示，在△ABC中，AC与⊙O相切于点A，AC=AB=2，⊙O交BC于D．
（1）∠C=
45
45
°；
（2）BD=
2
2
；
（3）求图中阴影部分的面积（结果用π表示）．
（2013•松江区二模）如图，已知在△ABC中，AC=15，AB=25，sin∠CAB=
45
，以CA为半径的⊙C与AB、BC分别交于点D、E，联结AE，DE．
（1）求BC的长；
（2）求△AED的面积．

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