Question

邻边不相等的平行四边形纸片，剪去一个菱形，余下一个四边形，称为第一次操作：在余下的四边形纸片中再剪去一个菱形，又剩下一个四边形，称为第二次操作；…依次类推，若第n次操作余下的四边形是菱形，则称原平行四边形为n阶准菱形．如图1，?ABCD中，若AB＝1，BC＝2，则?ABCD为1阶准菱形．
(1)判断与推理：

①邻边长分别为2和3的平行四边形是________阶准菱形；
②小明为了剪去一个菱形，进行了如下操作：如图2，把?ABCD沿BE折叠(点E在AD上)，使点A落在BC边上的点F，得到四边形ABFE.请证明四边形ABFE是菱形．
(2)操作、探究与计算：
①已知?ABCD的邻边长分别为1，a(a＞1)，且是3阶准菱形，请画出?ABCD及裁剪线的示意图，并在图形下方写出a的值；
②已知?ABCD的邻边长分别为a，b(a＞b)，满足a＝6b＋r，b＝5r，请写出?ABCD是几阶准菱形．

Answer 1

（1）①2  ②见解析  （2）①图形见解析   ②10阶准菱形

解：(1)①利用邻边长分别为2和3的平行四边形进行两次操作，所剩四边形是边长为1的菱形，故邻边长分别为2和3的平行四边形是2阶准菱形：

②由折叠知：∠ABE＝∠FBE，AB＝BF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AE∥BF，
∴∠AEB＝∠FBE，
∴∠AEB＝∠ABE，
∴AE＝AB，
∴AE＝BF，
∴四边形ABFE是平行四边形，
∴四边形ABFE是菱形；
(2)①如图所示：


②∵a＝6b＋r，b＝5r，
∴a＝6×5r＋r＝31r；
如图所示：

故?ABCD是10阶准菱形．