题目内容
【题目】如图1,⊙O的半径为r(r>0),若点P′在射线OP上,满足OP′OP=r2,则称点P′是点P关于⊙O的“反演点”.
如图2,⊙O的半径为4,点B在⊙O上,∠BOA=60°,OA=8,若点A′,B′分别是点A,B关于⊙O的反演点,求A′B′的长.
【答案】2.
【解析】
试题分析:设OA交⊙O于C,连结B′C,如图2,根据新定义计算出OA′=2,OB′=4,则点A′为OC的中点,点B和B′重合,再证明△OBC为等边三角形,则B′A′⊥OC,然后在Rt△OA′B′中,利用正弦的定义可求A′B′的长.
解:设OA交⊙O于C,连结B′C,如图2,
∵OA′OA=42,
而r=4,OA=8,
∴OA′=2,
∵OB′OB=42,
∴OB′=4,即点B和B′重合,
∵∠BOA=60°,OB=OC,
∴△OBC为等边三角形,
而点A′为OC的中点,
∴B′A′⊥OC,
在Rt△OA′B′中,sin∠A′OB′=,
∴A′B′=4sin60°=2.
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