题目内容
二次函数的图像的顶点为,与轴交于点,以为边在第二象限内作等边三角形.
(1)求直线的表达式和点的坐标;
(2)点在第二象限,且△的面积等于△的面积,求点的坐标;
(3)以轴上的点为圆心,1为半径的圆,与以点为圆心,的长为半径的圆相切,直接写出点的坐标.
(1),(2)(3),,,
【解析】解:(1)二次函数的图像的顶点,与轴的交点, (2分)
设直线的表达式为,
可求得,.所以直线的表达式为. (1分)
可得,∵,
∴. (1分)
在Rt△中,由勾股定理得:.
∴.点. (1分)
解:(2)∵点、都在第二象限,且△的面积等于△的面积,
∴∥. (1分)
设直线的表达式为,点在直线上,
可得 .
∴直线的表达式为. (1分)
可得点的坐标:. (1分)
解:(3)点的坐标,,,.
(1)已知抛物线的解析式,其顶点以及函数图象与y轴交点坐标易求得.在求点C的坐标时,要把握住Rt△AOB的特殊性(含30°角),显然,若△ABC是等边三角形,那么AC与x轴垂直,无论通过勾股定理求边长还是根据B点在AC的中垂线上,都能比较容易的求出点C的坐标.
(2)“M点在第二象限内”确定了点M的大致范围,若“△ABM的面积等于△ABC的面积”,以AB为底边进行分析,那么点C、点M到直线AB的距离是相同的,即CM∥AB,直线AB的解析式易求,两直线平行则斜率相同,再代入点C的坐标就能通过待定系数法求出直线CM的解析式,然后代入点M的纵坐标即可得出结论.
(3)首先求出⊙C的半径,即CM的长.若⊙C与⊙N相切,就要分两种情况来考虑:①外切,CN长等于两圆的半径和;②内切,CN长等于两圆的半径差.
在明确CN长的情况下,在Rt△CAN中,通过勾股定理求出AN的长,进一步即可确定点N的坐标.