题目内容
如图，在△ABC中，∠B=45°，∠C=30°，AD⊥BC于D，BD=6，求DC的长和△ABC的面积（结果保留根号）．
解：∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
在Rt△ADB中，∠B+∠BAD=90°，
又∵∠B=45°，
∴∠B=∠BAD=45°，
∴AD=BD=6，
在Rt△ADC中，∠C=30°，
∴AC=2AD=12，
∴CD=
=
=6
，BC=BD+DC=6+6，
∴S△ABC=
BC•AD=×（6+6）×6=18+18．
分析：由AD垂直于BC，得到三角形ABD与三角形ADC都为直角三角形，再由∠B=45°，得到三角形ABD为等腰直角三角形，即AD=BD，利用30°所对的直角边等于斜边的一半，求出AC的长，利用勾股定理求出DC的长，再由BD+DC求出BC的长，利用三角形的面积公式求出三角形ABC面积即可．
点评：此题考查了勾股定理，含30度直角三角形的性质，以及等腰三角形的判定与性质，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．
∴∠ADB=∠ADC=90°，
在Rt△ADB中，∠B+∠BAD=90°，
又∵∠B=45°，
∴∠B=∠BAD=45°，
∴AD=BD=6，
在Rt△ADC中，∠C=30°，
∴AC=2AD=12，
∴CD=
==6，BC=BD+DC=6+6，∴S△ABC=
BC•AD=×（6+6）×6=18+18．分析：由AD垂直于BC，得到三角形ABD与三角形ADC都为直角三角形，再由∠B=45°，得到三角形ABD为等腰直角三角形，即AD=BD，利用30°所对的直角边等于斜边的一半，求出AC的长，利用勾股定理求出DC的长，再由BD+DC求出BC的长，利用三角形的面积公式求出三角形ABC面积即可．
点评：此题考查了勾股定理，含30度直角三角形的性质，以及等腰三角形的判定与性质，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．
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