Question

如图，AB为⊙Ｏ的直径，弦ＣＤ⊥ＡＢ于点Ｅ．

（１）当AB＝10，CD＝６时，求OE的长；
（２）∠OCD的平分线交⊙Ｏ于点Ｐ，当点Ｃ在上半圆（不包括Ａ、Ｂ点）上移动时，对于点Ｐ，下面三个结论：
①到CD的距离保持不变；②平分下半圆；③等分．
其中正确的为　　　　　，请予以证明．

Answer 1

（１）4（２）　②，证明见解析

解（１）∵直径ＡＢ⊥弦ＣＤ，
∴ＡＢ平分弦ＣＤ，即ＣＥ＝ＣＤ＝３．………………………………２分
在Ｒt△ＯＣＥ中，由勾股定理，
得ＯＥ＝＝＝４；…………………………………４分
（２）　②　，………………………………………………………………６分
证明：连结ＯＰ（如图２）．
………………………………………………７分
∵ＯＣ＝ＯＰ，∴∠２＝∠３，……………………………………………８分
又∵∠１＝∠２，
∴∠１＝∠３，
∴ＣＤ∥ＯＰ．………………………………………………………………９分
∵ＣＤ⊥ＡＢ，∴ＯＰ⊥ＡＢ，…………………………………………１０分
∴∠ＡＯＰ＝∠ＢＯＰ＝９０°，∴＝，……………………１２分
即点Ｐ平分下半圆．
（1）由垂径定理求CE，在Rt△OCE中，由勾股定理求OE；
（2）正确的为②，连接OP，利用角平分线的定义得∠1=∠2，由半径OC=OP，得∠2=∠3，从而有∠1=∠3，则OP∥CD，CD⊥AB，则OP⊥AB，即点P平分下半圆．