题目内容
【题目】如图,在△BCE中,点A时边BE上一点,以AB为直径的⊙O与CE相切于点D,AD∥OC,点F为OC与⊙O的交点,连接AF.
(1)求证:CB是⊙O的切线;
(2)若∠ECB=60°,AB=6,求图中阴影部分的面积.
【答案】(1)详见解析;(2).
【解析】
试题分析:(1)根据已知条件易证△CDO≌△CBO,即可得∠CBO=∠CDO=90°,所以CB是⊙O的切线;(2)根据条件证明△ADG≌△FOG,可得S△ADG=S△FOG,再由S阴=S扇形ODF,利用扇形面积公式计算即可.
试题解析:(1)证明:连接OD,与AF相交于点G,
∵CE与⊙O相切于点D,
∴OD⊥CE,
∴∠CDO=90°,
∵AD∥OC,
∴∠ADO=∠1,∠DAO=∠2,
∵OA=OD,
∴∠ADO=∠DAO,
∴∠1=∠2,
在△CDO和△CBO中,
,
∴△CDO≌△CBO,
∴∠CBO=∠CDO=90°,
∴CB是⊙O的切线.
(2)由(1)可知∠3=∠BCO,∠1=∠2,
∵∠ECB=60°,
∴∠3=∠ECB=30°,
∴∠1=∠2=60°,
∴∠4=60°,
∵OA=OD,
∴△OAD是等边三角形,
∴AD=OD=OF,∵∠1=∠ADO,
在△ADG和△FOG中,
,
∴△ADG≌△FOG,
∴S△ADG=S△FOG,
∵AB=6,
∴⊙O的半径r=3,
∴S阴=S扇形ODF==.
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