题目内容
(2012•株洲)如图,一次函数y=-
x+2分别交y轴、x轴于A、B两点,抛物线y=-x2+bx+c过A、B两点.
(1)求这个抛物线的解析式;
(2)作垂直x轴的直线x=t,在第一象限交直线AB于M,交这个抛物线于N.求当t取何值时,MN有最大值?最大值是多少?
(3)在(2)的情况下,以A、M、N、D为顶点作平行四边形,求第四个顶点D的坐标.
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(1)求这个抛物线的解析式;
(2)作垂直x轴的直线x=t,在第一象限交直线AB于M,交这个抛物线于N.求当t取何值时,MN有最大值?最大值是多少?
(3)在(2)的情况下,以A、M、N、D为顶点作平行四边形,求第四个顶点D的坐标.
分析:(1)首先求得A、B点的坐标,然后利用待定系数法求抛物线的解析式;
(2)本问要点是求得线段MN的表达式,这个表达式是关于t的二次函数,利用二次函数的极值求线段MN的最大值;
(3)本问要点是明确D点的可能位置有三种情形,如答图2所示,不要遗漏.其中D1、D2在y轴上,利用线段数量关系容易求得坐标;D3点在第一象限,是直线D1N和D2M的交点,利用直线解析式求得交点坐标.
(2)本问要点是求得线段MN的表达式,这个表达式是关于t的二次函数,利用二次函数的极值求线段MN的最大值;
(3)本问要点是明确D点的可能位置有三种情形,如答图2所示,不要遗漏.其中D1、D2在y轴上,利用线段数量关系容易求得坐标;D3点在第一象限,是直线D1N和D2M的交点,利用直线解析式求得交点坐标.
解答:解:(1)∵y=-
x+2分别交y轴、x轴于A、B两点,
∴A、B点的坐标为:A(0,2),B(4,0)…(1分)
将x=0,y=2代入y=-x2+bx+c得c=2…(2分)
将x=4,y=0代入y=-x2+bx+c得0=-16+4b+2,解得b=
,
∴抛物线解析式为:y=-x2+
x+2…(3分)
(2)如答图1,设MN交x轴于点E,
则E(t,0),BE=4-t.
∵tan∠ABO=
=
=
,
∴ME=BE•tan∠ABO=(4-t)×
=2-
t.
又N点在抛物线上,且xN=t,∴yN=-t2+
t+2,
∴MN=yN-ME=-t2+
t+2-(2-
t)=-t2+4t…(5分)
∴当t=2时,MN有最大值4…(6分)
(3)由(2)可知,A(0,2),M(2,1),N(2,5).
以A、M、N、D为顶点作平行四边形,D点的可能位置有三种情形,如答图2所示.…(7分)
(i)当D在y轴上时,设D的坐标为(0,a)
由AD=MN,得|a-2|=4,解得a1=6,a2=-2,
从而D为(0,6)或D(0,-2)…(8分)
(ii)当D不在y轴上时,由图可知D3为D1N与D2M的交点,
易得D1N的方程为y=-
x+6,D2M的方程为y=
x-2,
由两方程联立解得D为(4,4)…(9分)
故所求的D点坐标为(0,6),(0,-2)或(4,4)…(10分)
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∴A、B点的坐标为:A(0,2),B(4,0)…(1分)
将x=0,y=2代入y=-x2+bx+c得c=2…(2分)
将x=4,y=0代入y=-x2+bx+c得0=-16+4b+2,解得b=
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2 |
∴抛物线解析式为:y=-x2+
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(2)如答图1,设MN交x轴于点E,
则E(t,0),BE=4-t.
∵tan∠ABO=
OA |
OB |
2 |
4 |
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2 |
∴ME=BE•tan∠ABO=(4-t)×
1 |
2 |
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2 |
又N点在抛物线上,且xN=t,∴yN=-t2+
7 |
2 |
∴MN=yN-ME=-t2+
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2 |
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∴当t=2时,MN有最大值4…(6分)
(3)由(2)可知,A(0,2),M(2,1),N(2,5).
以A、M、N、D为顶点作平行四边形,D点的可能位置有三种情形,如答图2所示.…(7分)
(i)当D在y轴上时,设D的坐标为(0,a)
由AD=MN,得|a-2|=4,解得a1=6,a2=-2,
从而D为(0,6)或D(0,-2)…(8分)
(ii)当D不在y轴上时,由图可知D3为D1N与D2M的交点,
易得D1N的方程为y=-
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由两方程联立解得D为(4,4)…(9分)
故所求的D点坐标为(0,6),(0,-2)或(4,4)…(10分)
点评:本题是二次函数综合题,考查了抛物线上点的坐标特征、二次函数的极值、待定系数法求函数解析式、平行四边形等重要知识点.难点在于第(3)问,点D的可能位置有三种情形,解题时容易遗漏而导致失分.作为中考压轴题,本题有一定的难度,解题时比较容易下手,区分度稍低.
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