题目内容

已知关于x的一元二次方程 $数学公式$ ．
（1）求证：无论m取任何实数，方程都有两个实数根；
（2）当m＜3时，关于x的二次函数 $数学公式$ 的图象与x轴交于A、B 两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且2AB=3OC，求m的值；
（3）在（2）的条件下，过点C作直线l∥x轴，将二次函数图象在y轴左侧的部分沿直线l翻折，二次函数图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，记为G．请你结合图象回答：当直线 $数学公式$ 与图象G只有一个公共点时，b的取值范围．

解：（1）根据题意，得
△=（m-2）²-4× $\text{[math]}$ ×（2m-6）
=（m-4）²，
∵无论m为任何数时，都有（m-4）²≥0，即△≥0．
∴无论m取任何实数，方程都有两个实数根；
（2）由题意，得
当y=0时，则 $\text{[math]}$ ，
解得：x₁=6-2m，x₂=-2，
∵m＜3，点A在点B的左侧，

∴A（-2，0），B（-2m+6，0），
∴OA=2，OB=-2m+6．
当x=0时，y=2m-6，
∴C（0，2m-6），
∴OC=-（2m-6）=-2m+6．
∵2AB=3OC，
∴2（2-2m+6）=3（-2m+6），
解得：m=1；
（3）如图，当m=1时，抛物线的解析式为y= $\text{[math]}$ x²-x-4，
点C的坐标为（0，-4）．
当直线y= $\text{[math]}$ x+b经过点C时，可得b=-4，
当直线y= $\text{[math]}$ x+b（b＜-4）与函数y= $\text{[math]}$ x²-x-4（x＞0）的图象只有一个公共点时，得
$\text{[math]}$ x+b═ $\text{[math]}$ x²-x-4．
整理得：3x²-8x-6b-24=0，
∴△=（-8）²-4×3×（-6b-24）=0，
解得：b=- $\text{[math]}$ ．
结合图象可知，符合题意的b的取值范围为b＞-4或b＜- $\text{[math]}$ ．
分析：（1）运用根的判别式就可以求出△的值就可以得出结论；
（2）先当x=0或y=0是分别表示出抛物线与x轴和y轴的交点坐标，表示出AB、OC的值，由2AB=3OC建立方程即可求出m的值；
（3）把（2）m的值代入抛物线的解析式就可以求出抛物线的解析式和C点的坐标，当直线经过点C时就可以求出b的值，由直线与抛物线只有一个公共点建立方程，根据△=0就可以求出b的值，再根据图象就可以得出结论．
点评：本题是一道一次函数与二次函数的综合试题，考查了一元二次方程根的判别式的运用，二次函数与坐标轴的交点坐标的运用，轴对称的性质的运用，解答时根据函数之间的关系建立方程灵活运用根的判别式是解答本题的关键．