Question

初步探索感悟方法
如图1用水平线和竖直线将平面分成若干个面积为1的小正方形格子，小正方形的顶点为格点，以格点为顶点的多边形称为格点多边形．设格点多边形的面积为S，它各边上格点的个数和为x．

（1）上图中的格点多边形，其内部都只有1个格点，它们的面积S与各边上格点的个数和x的对应关系如下表：

序号	①	②	③	④	…
S	2	2.5	3	4	…
x	4	5	6	8	…

请用含x的代数式表示S，即S=______；
（2）进一步探索：你可以画出一些格点多边形，使这些多边形内部有而且只有2个格点，在这种情况下，用含x的代数式表示S，即S=______；
（3）请你继续探索并归纳：当格点多边形内部有且只有n个格点时，直接写出S与x之间的关系式．
积累经验拓展延伸
如图2，对等边三角形网格中的类似问题进行探究：等边三角形网格中每个小等边三角形的面积为1，小等边三角形的顶点为格点，以格点为顶点的多边形称为格点多边形．
（4）设格点多边形的面积为S，它各边上格点的个数和为x，当格点多边形内部有且只有n个格点时，直接写出S与x之间的关系式．

Answer 1

（1）∵①各边上格点个数和为：4，S=2，②各边上格点个数和为：5，S=2.5，
③各边上格点个数和为：6，S=3，
④各边上格点个数和为：7，S=3.5，
∴S=

1

2

x；
故答案为：

1

2

x；

（2）由图可知多边形内部都有而且只有2格点时，
⑤的各边上格点的个数为4，面积为3，
⑥的各边上格点的个数为10，面积为6，
∴S=

1

2

x+1；
故答案为：

1

2

x+1；

（3）由图1可知多边形内部都有而且只有n格点时，面积为：S=

1

2

x+（n-1）．

（4）由图2可知多边形内部都有而且只有n格点时，面积为：S=x+2（n-1）．