题目内容
【题目】如图,在△ABC中,AB=BC,D是AC中点,BE平分∠ABD交AC于点E,点O是AB上一点,⊙O过B、E两点,交BD于点G,交AB于点F.
(1)判断直线AC与⊙O的位置关系,并说明理由;
(2)当BD=6,AB=10时,求⊙O的半径.
【答案】(1)AC与⊙O相切,理由见解析;
(2)⊙O半径是.
【解析】
试题分析:(1)连结OE,如图,由BE平分∠ABD得到∠OBE=∠DBO,加上∠OBE=∠OEB,则∠OBE=∠DBO,于是可判断OE∥BD,再利用等腰三角形的性质得到BD⊥AC,所以OE⊥AC,于是根据切线的判定定理可得AC与⊙O相切;
(2)设⊙O半径为r,则AO=10﹣r,证明△AOE∽△ABD,利用相似比得到,然后解方程求出r即可.
试题解析:(1)AC与⊙O相切.理由如下:
连结OE,如图,
∵BE平分∠ABD,
∴∠OBE=∠DBO,
∵OE=OB,
∴∠OBE=∠OEB,
∴∠OBE=∠DBO,
∴OE∥BD,
∵AB=BC,D是AC中点,
∴BD⊥AC,
∴OE⊥AC,
∴AC与⊙O相切;
(2)设⊙O半径为r,则AO=10﹣r,
由(1)知,OE∥BD,
∴△AOE∽△ABD,
∴,即,
∴r=,
即⊙O半径是.
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