Question

如图所示，AB是⊙O的直径，弦BC=2cm，∠ABC=60º．

（1）求⊙O的直径；
（2）若D是AB延长线上一点，连结CD，当BD长为多少时，CD与⊙O相切；
（3）若动点E以2cm/s的速度从点A出发沿着AB方向运动，同时动点F以1cm/s的速度从点B出发沿BC方向运动，设运动时间为t(s)(0<t<2)，连结EF，当t为何值时，△BEF为直角三角形．

Answer 1

（1）4cm；（2）2cm；（3）t＝1s或t＝1.6s时

试题分析：（1）先根据圆周角定理可得∠ACB＝90º，再由∠ABC＝60º可得∠BAC＝30º，再根据含30°角的直角三角形的性质即可求得结果；
（2）连结OC，根据切线的性质可得∠OCD＝90º，根据圆周角定理可得∠COD＝60º，从而可得∠D＝30º ，再根据含30°角的直角三角形的性质即可求得结果；
（3）根据题意得BE＝（4－2t）cm，BF＝tcm，分∠ＥＦＢ＝90º与∠ＦＥＢ＝90º两种情况结合相似三角形的性质即可求得结果.
（1）∵AB是⊙O的直径
∴∠ACB＝90º
∵∠ABC＝60º
∴∠BAC＝180º－∠ACB－∠ABC＝30º
∴AB＝2BC＝4cm，即⊙O的直径为4cm；
（2）如图，连结OC.

∵CD切⊙O于点C，
∴CD⊥CO
∴∠OCD＝90º
∵∠BAC＝30º
∴∠COD＝2∠BAC＝60º.
∴∠D＝180º－∠COD－∠OCD＝30º
∴OD＝2OC＝4cm
∴BD＝OD－OB＝4－2＝2cm
∴当BD长为2cm时，CD与⊙O相切；
（3）根据题意，得BE＝（4－2t）cm，BF＝tcm；

如图，当∠ＥＦＢ＝90º时，△BEF为直角三角形，
∵∠ＥＦＢ＝∠ＡＣＢ，∠B＝∠B
∴△BEF∽△BAC
∴，即，解得t＝1.

如图，当∠ＦＥＢ＝90º时，△BEF为直角三角形，
∵∠ＦＥＢ＝∠ＡＣＢ，∠B＝∠B，
∴△BEF∽△BCA.
∴，即，解得t＝1.6.
∴当t＝1s或t＝1.6s时，△BEF为直角三角形．
点评：本题知识点多，综合性强，难度较大，一般是中考压轴题，主要考查学生对圆的性质的熟练掌握情况.