题目内容
【题目】如图，BC是⊙O的直径，A是⊙O上一点，过点C作⊙O的切线，交BA的延长线于点D，取CD的中点E，AE的延长线与BC的延长线交于点P．
（1）说明：AP是⊙O的切线；
（2）若OC=CP，AB=6，求CD的长．
【答案】
（1）证明：连接AO，AC（如图）．
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BAC=∠CAD=90°
∵E是CD的中点，
∴CE=DE=AE．
∴∠ECA=∠EAC．
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA．
∵CD是⊙O的切线，
∴CD⊥OC．
∴∠ECA+∠OCA=90°．
∴∠EAC+∠OAC=90°．
∴OA⊥AP．
∵A是⊙O上一点，
∴AP是⊙O的切线
（2）解：由（1）知OA⊥AP．
在Rt△OAP中，∵∠OAP=90°，OC=CP=OA，即OP=2OA，
∴sinP= 
．
∴∠P=30°．
∴∠AOP=60°．
∵OC=OA，
∴∠ACO=60°．
在Rt△BAC中，∵∠BAC=90°，AB=6，∠ACO=60°，
∴ 
．
又∵在Rt△ACD中，∠CAD=90°，∠ACD=90°﹣∠ACO=30°，
∴CD= 
= 
= 
=4
【解析】（1）连接AO，AC．由直径所对的圆周角是直角得出∠BAC=∠CAD=90°，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出CE=DE=AE．进而得出∠ECA=∠EAC，又由同圆的半径相等∠OAC=∠OCA．由圆的切线性质得出∠ECA+∠OCA=90°．由等量代换得出∠EAC+∠OAC=90°即可（2）由直角三角形的边之间的关系找出∠AOP=60°，进而得出∠ACO=60°，然后在在Rt△BAC中由锐角三角函数得出AC的长度，在Rt△ACD中再由锐角三角函数得出CD的长度。
【考点精析】通过灵活运用解直角三角形，掌握解直角三角形的依据：①边的关系a2+b2=c2；②角的关系：A+B=90°；③边角关系：三角函数的定义．(注意：尽量避免使用中间数据和除法)即可以解答此题．
