Question

如图所示，已知A，B两点的坐标分别为（28，0）和（0，28）．动点P从A点开始在线段AO上以每秒3个单位的速度向原点O运动，动直线EF从x轴开始每秒1个单位的速度向上平行移动（即EF∥x轴），并且分别与y轴，线段AB交于E，F点，连接FP，设动点P与动直线EF同时出发，运动时间为t秒．
（1）当t=1秒时，求梯形OPFE的面积，当t为何值时，梯形OPFE的面积最大，最大面积是多少？
（2）当梯形OPFE的面积等于三角形APF的面积时，求线段PF的长；
（3）设t的值分别取t₁，t₂时（t₁≠t₂），所对应的三角形分别为△AF₁P₁和△AF₂P₂．试判断这两个三角形是否相似，请证明你的判断．

Answer 1

（1）S_梯形OPFE=

1

2

（OP+EF）•OE=

1

2

（25+27）×1=26．
设运动时间为t秒时，梯形OPFE的面积为y，
则y=

1

2

（28-3t+28-t）t=-2t²+28t=-2（t-7）²+98，
所以当t=7秒时，梯形OPFE的面积最大，最大面积为98；

（2）当S_梯形OPFE=S_△APF时，
-2t²+28t=

3t2

2

，解得t₁=8，t₂=0（舍去）．
当t=8秒时，FP=8

5

；

（3）由

AP1

AP2

≡

AF1

AF2

≡

t1

t2

，
且∠OAB=∠OAB，
可证得△AF₁P₁∽△AF₂P₂．