Question

已知，如图①，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AB=12cm，点P从点A沿AB以每秒2cm的速度向点B运动，点Q从点C以每秒1cm的速度向点A运动，设点P、Q分别从点A、C同时出发，运动时间为t（秒）（0＜t＜6），回答下列问题：
（1）直接写出线段AP、AQ的长（含t的代数式表示）：AP=______，AQ=______；
（2）设△APQ 的面积为S，写出S与t的函数关系式；
（3）如图②，连接PC，并把△PQC沿QC翻折，得到四边形PQP′C，那么是否存在某一时间t，使四边形PQP′C为菱形？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

解：（1）∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AB=12cm，
∴AC=6，
∴由题意知：AP=2t，AQ=6-t，

（2）如图①过点P作PH⊥AC于H．
∵∠C=90°，∠A=60°，AB=12cm，
∴∠B=30°，
∴∠HPA=30°，
∵AP=2t，AH=t，
∴PH=t，
∴S=×AQ×PH=×t×（6-t）=-t²+3t；

（3）当t=4时，四边形PQP′C是菱形，
证明：如图②过点P作PM⊥AC于M，
∵CQ=t，由（2）可知，AM=AP=tcm，
∴QC=AM，当PC=PQ时，即CM=MQ=AQ=AC=2时，
∴四边形PQP′C是菱形，
即当t=4时，四边形PQP′C是菱形．
分析：（1）根据∠A=60°，AB=12cm，得出AC的长，进而得出AP=2t，AQ=6-t．
（2）过点P作PH⊥AC于H．由AP=2t，AH=t，得出PH=t，从而求得S与t的函数关系式；
（3）过点P作PM⊥AC于M，根据菱形的性质得PQ=PC，则可得出PN=QM=CM，求得t即可．
点评：此题主要考查了相似三角形的判定和性质、勾股定理、菱形的性质等知识点，是中考压轴题，难度偏大，正确利用菱形判定得出是解题关键．