Question

【题目】如图1，已知点E为正方形ABCD对角线CA延长线上一点，过E点作EF⊥CB交其延长线于点F，且EF＝4，AC＝

（1）如图1，连接BE，求线段BE的长；

（2）将等腰Rt△CEF绕C点旋转至如图2的位置，连接AE，M点为AE的中点，连接MD、MF，求MD与MF的关系；

（3）将△CEF绕C点旋转一周，请直接写出点M在这个过程中的运动路径长为　 　．

Answer 1

【答案】（1）5；（2）DM＝MF，DM⊥MF．（3）4π．

【解析】

（1）连接BE，再求出BF的长，然后利用勾股定理进行解答即可；

（2）延长FM到P，使得MP=MF，连接PD、PF、PA，延长PA交CF于K.证明△PDF是等腰直角三角形即可完成解答；

（3）接AC，取AC的中点O，连接OM，由中位线定理可得OM=2，推出点M的运动轨迹是以O为圆心，2为半径的圆即可完成解答.

解：（1）如图1中，连接BE．

∵S四边形ABCD是正方形，

∴∠ACB＝45°，AB＝BC，∠ABC＝90°，

∵AC＝，

∴AB＝BC＝1，

∵EF⊥CF，

∴∠F＝90°，

∴∠FCA＝∠FAC＝45°，

∴EF＝FC＝4，

∴FB＝3，

∴BE＝＝＝5．

（2）结论：MD＝MF，MD⊥MF．

理由：延长FM到P，使得MP＝MF，连接PD，PF，PA，延长PA交CF于K．

∵EM＝MA，MF＝MP，∠EMF＝∠AMP，

∴△EMF≌△AMP（SAS），

∴PA＝EF＝CF，∠EFM＝∠APM，

∴PK∥EF，

∵EF⊥CF，

∴PK⊥CF，

∴∠AKC＝∠ADC＝90°，

∴∠DAK+∠DCK＝180°，

∵∠DAK+∠PAD＝180°，

∴∠PAD＝∠DCF，

∵CD＝DC，

∴△PAD≌△FCD（SAS），

∴DP＝DF，∠PDA＝∠FDC，

∴∠PDF＝∠ADC＝90°，

∵PM＝MF，

∴DM＝MF＝PM，DM⊥FM．

∴DM＝MF，DM⊥MF．

（3）连接AC，取AC的中点O，连接OM．

∵AM＝ME，AO＝OC，

∴OM＝EC，

∵EC＝4，

∴OM＝2＝定长，

∴点M的运动轨迹是以O为圆心，2为半径的圆，

当△CEF绕C点旋转一周，M的轨迹为整个圆，

因此路径长为4π，

故答案为4π．