Question

如图，已知A，B两点坐标分别为（28，0）和（0，28），动点P从A开始在线段AO上以每秒3个单位长度的速度向原点O运动．动直线EF从x轴开始以每秒1个单位长度的速度向上平行移动（即EF∥x轴），并且分别与y轴、线段AB交于点E，F，连接FP，设动点P与动直线EF同时出发，运动时间为t秒．
（1）当t=1秒时，求梯形OPFE的面积；
（2）t为何值时，梯形OPFE的面积最大，最大面积是多少？
（3）当梯形OPFE的面积等于△APF的面积时，求线段PF的长．

Answer 1

分析：因为直线EF是动的，则坐标也是动的，可以把当t时刻时P，E，F三点的坐标用t表示出来，同样也可以把梯形OPFE的面积用t表示出来，转化为求函数最值问题，就解决问题了．

解答：解：（1）由题意，当t=1s时，P点坐标为（25，0），E（0，1），
根据A，B坐标已知可求出直线AB的方程l：x+y=28，
由图形可知点F与点E的纵坐标都为1，把y=1代入x+y=28中，
解得x=27，
所以F（27，1），
梯形OPFE的面积S=

1

2

（EF+OP）×OE=26，
∴当t=1时，梯形面积是26；

（2）设t=t₀时，由图可知P（28-3t₀，0），E（0，t₀），F（28-t₀，t），则
梯形OPFE的面积s=

1

2

×（EF+OP）×OE=

1

2

×（28-t₀+28-3t₀）×t₀=-2（t₀-7）²+98，
当t₀=7时s有最大值，则最大值为98，
当t=7时，梯形OPFE的面积最大，最大为98；

（3）由题梯形OPFE的面积等于△APF的面积，则有
S_△APF=

1

2

×AP×h=

1

2

×（3t）×t，
由（2）知道梯形OPFE的面积的表达式，
可得：-2（t-7）²+98=

1

2

×（3t）×t，
即t=8，t=0（舍），
此时P（4，0），F（20，8），
∴PF=8

5

．

点评：此题主要考查二次函数的解析式，最值问题，以及坐标的变换．