题目内容
如图所示,在直线AB上有一点C,过点A作AE⊥AB,垂足为A,过点B作BF⊥AB,垂足为B,且AE=BC,BF=AC,连接EF.
(1)求证:△AEC≌△BCF;
(2)若AE=2,tan∠CFB=,求EF的长.
(1)证明:∵EA⊥AB,BF⊥AB
∴∠EAC=∠FBC=90°…
在Rt△EAC与Rt△CBF中,
…
∴Rt△AEC≌Rt△BCF;
(2)解:∵△AEC≌△BCF,
∴AE=2=BC,∠CFB=∠ECA
∴,
∴2AE=AC=4,
∴…,
∵∠EAC+∠ECA=90°,∠AEC=∠FCB,
∴∠ECA+∠FCB=90°,
∴∠ECF=90°,
在Rt△ECF中,,
∴.
分析:(1)由于AE⊥AB,BF⊥AB可以得到∠EAC=∠FBC=90°,而AE=BC,BF=AC,利用边角边即可解决问题;
(2)利用(1)的结论得到BC=2,∠CFB=∠ECA,接着利用三角函数的定义求出CE,最后利用勾股定理和已知条件即可求解.
点评:此题主要考查了全等三角形的判定与性质,同时也利用了三角函数的定义,解题的关键是全等三角形的判定和性质.
∴∠EAC=∠FBC=90°…
在Rt△EAC与Rt△CBF中,
…
∴Rt△AEC≌Rt△BCF;
(2)解:∵△AEC≌△BCF,
∴AE=2=BC,∠CFB=∠ECA
∴,
∴2AE=AC=4,
∴…,
∵∠EAC+∠ECA=90°,∠AEC=∠FCB,
∴∠ECA+∠FCB=90°,
∴∠ECF=90°,
在Rt△ECF中,,
∴.
分析:(1)由于AE⊥AB,BF⊥AB可以得到∠EAC=∠FBC=90°,而AE=BC,BF=AC,利用边角边即可解决问题;
(2)利用(1)的结论得到BC=2,∠CFB=∠ECA,接着利用三角函数的定义求出CE,最后利用勾股定理和已知条件即可求解.
点评:此题主要考查了全等三角形的判定与性质,同时也利用了三角函数的定义,解题的关键是全等三角形的判定和性质.
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