题目内容

已知:关于x的一元二次方程(m-1)x2+(m-2)x-1=0(m为实数)
(1)若方程有两个不相等的实数根,求m的取值范围;
(2)在(1)的条件下,求证:无论m取何值,抛物线y=(m-1)x2+(m-2)x-1总过x轴上的一个固定点;
(3)关于x的一元二次方程(m-1)x2+(m-2)x-1=0有两个不相等的整数根,把抛物线y=(m-1)x2+(m-2)x-1向右平移3个单位长度,求平移后的解析式.
分析:(1)根据b2-4ac与零的关系即可判断出的关于x的一元二次方程(m-1)x2+(m-2)x-1=0(m为实数)的解的情况;
(2)用十字相乘法来转换y=(m-1)x2+(m-2)x-1,即y=[(m-1)x-1](x+1),则易解;
(3)利用(2)的解题结果x=-1,再根据两根之积等于-
1
m-1
是整数,得出m的值,进而得出平移后的解析式.
解答:解:(1)根据题意,得
△=(m-2)2-4×(m-1)×(-1)>0,即m2>0
解得,m>0或m<0        ①
又∵m-1≠0,
∴m≠1                ②
由①②,得
m<0,0<m<1或m>1.

证明:(2)由y=(m-1)x2+(m-2)x-1,得
y=[(m-1)x-1](x+1)
抛物线y=[(m-1)x-1](x+1)与x轴的交点就是方程[(m-1)x-1](x+1)=0的两根.
解方程,得
x+1=0(1)
(m-1)x-1=0(2)

由(1)得,x=-1,即一元二次方程的一个根是-1,
∴无论m取何值,抛物线y=(m-1)x2+(m-2)x-1总过x轴上的一个固定点(-1,0).

(3)∵x=-1是整数,
∴只需
1
m-1
是整数.
∵m是整数,且m≠1,m≠0,
∴m=2,
当m=2时,抛物线的解析式为y=x2-1,
把它的图象向右平移3个单位长度,
则平移后的解析式为y=(x-3)2-1.
点评:(1)在解一元二次方程的根时,利用根的判别式△=b2-4ac与0的关系来判断该方程的根的情况;
(2)用十字相乘法对多项式进行分解,可以降低题的难度;
(3)函数图象平移规律是向右或向左平移时X=|x+d|;向上或向下平移时Y=|y+d|.
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