Question

【题目】已知：一次函数y=﹣2x+10的图象与反比例函数（k＞0）的图象相交于A，B两点（A在B的右侧）．

（1）当A（4，2）时，求反比例函数的解析式及B点的坐标；
（2）在1的条件下，反比例函数图象的另一支上是否存在一点P，使△PAB是以AB为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）当A（a，﹣2a+10），B（b，﹣2b+10）时，直线OA与此反比例函数图象的另一支交于另一点C，连接BC交y轴于点D．若，求△ABC的面积．

Answer 1

【答案】
（1）

【解答】解：把A（4，2）代入，得k=4×2=8．

∴反比例函数的解析式为．

解方程组，得

或，

∴点B的坐标为（1，8）；

（2）

①若∠BAP=90°，

过点A作AH⊥OE于H，设AP与x轴的交点为M，如图1，

对于y=﹣2x+10，

当y=0时，﹣2x+10=0，解得x=5，

∴点E（5，0），OE=5．

∵A（4，2），∴OH=4，AH=2，

∴HE=5﹣4=1．

∵AH⊥OE，∴∠AHM=∠AHE=90°．

又∵∠BAP=90°，

∴∠AME+∠AEM=90°，∠AME+∠MAH=90°，

∴∠MAH=∠AEM，

∴△AHM∽△EHA，

∴，

∴，

∴MH=4，

∴M（0，0），

可设直线AP的解析式为y=mx

则有4m=2，解得m=，

∴直线AP的解析式为y=x，

解方程组，得

或，

∴点P的坐标为（﹣4，﹣2）．

②若∠ABP=90°，

同理可得：点P的坐标为（﹣16，）．

综上所述：符合条件的点P的坐标为（﹣4，﹣2）、（﹣16，）；

（3）

过点B作BS⊥y轴于S，过点C作CT⊥y轴于T，连接OB，如图2，

则有BS∥CT，

∴△CTD∽△BSD，

∴．

∵，

∴．

∵A（a，﹣2a+10），B（b，﹣2b+10），

∴C（﹣a，2a﹣10），CT=a，BS=b，

∴=，即b=a．

∵A（a，﹣2a+10），B（b，﹣2b+10）都在反比例函数的图象上，

∴a（﹣2a+10）=b（﹣2b+10），

∴a（﹣2a+10）=a（﹣2×a+10）．

∵a≠0，

∴﹣2a+10=（﹣2×a+10），

解得：a=3．

∴A（3，4），B（2，6），C（﹣3，﹣4）．

设直线BC的解析式为y=px+q，

则有，

解得：，

∴直线BC的解析式为y=2x+2．

当x=0时，y=2，则点D（0，2），OD=2，

∴S△COB=S△ODC+S△ODB

=ODCT+ODBS

=×2×3+×2×2=5．

∵OA=OC，

∴S△AOB=S△COB，

∴S△ABC=2S△COB=10．

【解析】（1）只需把点A的坐标代入反比例函数的解析式，就可求出反比例函数的解析式；解一次函数与反比例函数的解析式组成的方程组，就可得到点B的坐标；
（2）△PAB是以AB为直角边的直角三角形，可分两种情况讨论：①若∠BAP=90°，过点A作AH⊥OE于H，设AP与x轴的交点为M，如图1，易得OE=5，OH=4，AH=2，HE=1．易证△AHM∽△EHA，根据相似三角形的性质可求出MH，从而得到点M的坐标，然后用待定系数法求出直线AP的解析式，再解直线AP与反比例函数的解析式组成的方程组，就可得到点P的坐标；②若∠ABP=90°，同理即可得到点P的坐标；
（3）过点B作BS⊥y轴于S，过点C作CT⊥y轴于T，连接OB，如图2，易证△CTD∽△BSD，根据相似三角形的性质可得．由A（a，﹣2a+10），B（b，﹣2b+10），可得C（﹣a，2a﹣10），CT=a，BS=b，即可得到=，即b=a．由A、B都在反比例函数的图象上可得a（﹣2a+10）=b（﹣2b+10），把b=a代入即可求出a的值，从而得到点A、B、C的坐标，运用待定系数法求出直线BC的解析式，从而得到点D的坐标及OD的值，然后运用割补法可求出S△COB ， 再由OA=OC可得S△ABC=2S△COB ， 问题得以解决．
【考点精析】认真审题，首先需要了解确定一次函数的表达式(确定一个一次函数，需要确定一次函数定义式y=kx+b（k不等于0）中的常数k和b．解这类问题的一般方法是待定系数法)，还要掌握相似三角形的判定与性质(相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方)的相关知识才是答题的关键．