Question

已知四边形ABCD的面积为32，AB、CD、AC的长都是整数，且它们的和为16．
（1）这样的四边形有几个？
（2）求这样的四边形边长的平方和的最小值．

Answer 1

（1）如图，记AB=a，CD=b，AC=l，并设△ABC的边BA上的高为h₁，△ADC的边DC上的高为h₂，
则S_{四边形ABCD}=S_△ABC+S_△ADC=

1

2

（h₁a+h₂b）≤

1

2

l（a+b），
当且仅当h₁=h₂=l时等号成立，即在四边形ABCD中，当AC⊥AB，AC⊥CD时，等号成立，
由已知得64≤l（a+b），又∵a+b=16-l，
得64≤l（16-l）=64-（l-8）²≤64，
于是l=8，a+b=8，且这时AC⊥AB，AC⊥CD，
因此这样的四边形由如下4个：a=1，b=7，l=8；a=2，b=6，l=8；a=3，b=5，l=8；a=b=4，l=8；

（2）由于AB=a，CD=8-a，则BC²=8²+a²，AD²=8²+（8-a）²，
故这样的四边形的边长的平方和为：
2a²+2（8-a）²+128=4（a-4）²+192，
当a=b=4时，平方和最小，且为192．
故答案为：4，192．