题目内容

【题目】如图,抛物线y=x2﹣2x﹣3x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),直线l与抛物线交于A,C两点,其中点C的横坐标为2.

(1)求A,B两点的坐标及直线AC的函数表达式;

(2)P是线段AC上的一个动点(PA,C不重合),过P点作y轴的平行线交抛物线于点E,求△ACE面积的最大值;

(3)若直线PE为抛物线的对称轴,抛物线与y轴交于点D,直线ACy轴交于点Q,点M为直线PE上一动点,则在x轴上是否存在一点N,使四边形DMNQ的周长最小?若存在,求出这个最小值及点M,N的坐标;若不存在,请说明理由.

(4)点H是抛物线上的动点,在x轴上是否存在点F,使A、C、F、H四个点为顶点的四边形是平行四边形?如果存在,请直接写出所有满足条件的F点坐标;如果不存在,请说明理由.

【答案】(1)y=﹣x﹣1;(2)ACE的面积最大值为;(3)M(1,﹣1),N(,0);(4)满足条件的F点坐标为F1(1,0),F2(﹣3,0),F3(4+,0),F4(4﹣,0).

【解析】

(1)令抛物线y=x2-2x-3=0,求出x的值,即可求A,B两点的坐标,根据两点式求出直线AC的函数表达式;
(2)设P点的横坐标为x(-1≤x≤2),求出P、E的坐标,用x表示出线段PE的长,求出PE的最大值,进而求出ACE的面积最大值;
(3)根据D点关于PE的对称点为点C(2,-3),点Q(0,-1)点关于x轴的对称点为M(0,1),则四边形DMNQ的周长最小,求出直线CM的解析式为y=-2x+1,进而求出最小值和点M,N的坐标;
(4)结合图形,分两类进行讨论,①CF平行x轴,如图1,此时可以求出F点两个坐标;②CF不平行x轴,如题中的图2,此时可以求出F点的两个坐标.

(1)令y=0,解得x2=3,

A(﹣1,0),B(3,0);

C点的横坐标x=2代入y=x2﹣2x﹣3

C(2,-3),

∴直线AC的函数解析式是

(2)设P点的横坐标为x(﹣1≤x≤2),

P、E的坐标分别为:P(x,﹣x﹣1),E(x,x2﹣2x﹣3),

P点在E点的上方,

∴当时,PE的最大值

ACE的面积最大值

(3)D点关于PE的对称点为点C(2,﹣3),点Q(0,﹣1)点关于x轴的对称点为K(0,1),

连接CK交直线PEM点,交x轴于N点,可求直线CK的解析式为,此时四边形DMNQ的周长最小,

最小值

求得M(1,﹣1),

(4)存在如图1,若AFCH,此时的DH点重合,CD=2,则AF=2,

于是可得F1(1,0),F2(﹣3,0),

如图2,根据点AF的坐标中点和点C和点H的坐标中点相同,

再根据|HA|=|CF|,

求出

综上所述,满足条件的F点坐标为F1(1,0),F2(﹣3,0),

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