Question

两个反比例函数y=

k

x

和y=

1

x

在第一象限内的图象如图所示，点P在y=

k

x

的图象上，PC⊥x轴于点C，交y=

1

x

的图象于点A，PD⊥y轴于点D，交y=

1

x

的图象于点B，当点P在y=

k

x

的图象上运动时，以下结论：①△ODB与△OCA的面积相等；②四边形PAOB的面积不会发生变化；③PA与PB始终相等；④当点A是PC的中点时，点B一定是PD的中点．其中一定正确的是

 

．

Answer 1

分析：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），而A、B两点都在y=

1

x

的图象上，故有x₁y₁=x₂y₂=1，而S_△ODB=

1

2

×BD×OD=

1

2

x₂y₂=

1

2

，S_△OCA=

1

2

×OC×AC=

1

2

x₁y₁=

1

2

，故①正确；
由A、B两点坐标可知P（x₁，y₂），P点在y=

k

x

的图象上，故S_矩形OCPD=OC×PD=x₁y₂=k，根据S_{四边形PAOB}=S_矩形OCPD-S_△ODB-S_△OCA，计算结果，故②正确；
由已知得x₁y₂=k，即x₁•

1

x2

=k，即x₁=kx₂，由A、B、P三点坐标可知PA=y₂-y₁=

1

x2

-

1

x1

=

k-1

k x2

，PB=x₁-x₂，=（k-1）x₂，故③错误；
当点A是PC的中点时，y₂=2y₁，代入x₁y₂=k中，得2x₁y₁=k，故k=2，代入x₁=kx₂中，得x₁=2x₂，可知④正确．

解答：解：（1）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则有x₁y₁=x₂y₂=1，
∵S_△ODB=

1

2

×BD×OD=

1

2

x₂y₂=

1

2

，S_△OCA=

1

2

×OC×AC=

1

2

x₁y₁=

1

2

，故①正确；

（2）由已知，得P（x₁，y₂），
∵P点在y=

k

x

的图象上，
∴S_矩形OCPD=OC×PD=x₁y₂=k，
∴S_{四边形PAOB}=S_矩形OCPD-S_△ODB-S_△OCA=k-

1

2

-

1

2

=k-1，故②正确；

（3）由已知得x₁y₂=k，即x₁•

1

x2

=k，
∴x₁=kx₂，
根据题意，得PA=y₂-y₁=

1

x2

-

1

x1

=

k-1

k x2

，PB=x₁-x₂，=（k-1）x₂，故③错误；

（4）当点A是PC的中点时，y₂=2y₁，
代入x₁y₂=k中，得2x₁y₁=k，
∴k=2，
代入x₁=kx₂中，得x₁=2x₂，故④正确．

故本题答案为：①②④．

点评：本题考查了反比例函数性质的综合运用，涉及点的坐标转化，相等长度的表示方法，三角形、四边形面积的计算，充分运用双曲线上点的横坐标与纵坐标的积等于反比例系数k．