题目内容

【题目】类比等腰三角形的定义,我们定义:有一组邻边相等的凸四边形叫做等邻边四边形。.

(1)概念理解
如图1,在四边形ABCD中,添加一个条件使得四边形ABCD是等邻边四边形。请写出你添加的一个条件;
(2)问题探究
小明猜想:对角线互相平分的等邻边四边形是菱形.她的猜想正确吗?请说明理由.
如图2,小明面了一个Rt△ABC,其中∠ABC=90°,AB=2,BC=1,井将Rt△ABC沿∠ABC的平分线BB′方向平移得到△A′B′C′,连结AA′,BC′.小明要是平移后的四边形ABC′A′是“等邻边四边形”应平移多少距离(即线段BB′的长)?

【答案】
(1)

解:答案不唯一,如:AB=BC,AB=AD,AD=CD,CD=BC;


(2)

解:小红的结论正确.

理由如下:∵四边形的对角线互相平分,

∴这个四边形是平行四边形,

∵四边形是“等邻边四边形”,

∴这个四边形有一组邻边相等,

∴这个“等邻边四边形”是菱形。

解:由∠ABC=90°,AB=2,BC=1,得:AC=

∵将Rt△ABC平移得到Rt△A′B′C′,

∴BB′=AA′,A′B′∥AB,A′B′=AB=2,B′C′=BC=1,A′C′=AC=

如下图,当AA′=AB时,BB′=AA′=AB=2;

如下图,当AA′=A′C′时,BB′=AA′=AC′=

如下图,当AC′=BC′= 时,延长C′B′交AB于点D,则C′B′⊥AB,

∵BB′平分∠ABC,

∴∠ABB′= ∠ABC=45°

∴∠BB′D=∠ABB′=45°,

∴B′D=BD,

设B′D=BD=x,则C′D=x+1,BB′= x

∵根据在Rt△BC′D中,BC′2=C′D2+BD2即x2+(x+1)2=5,

解得:x=1或x=-2(不合题意,舍去);

∴BB′= x= ;

当BC′=AB=2时,与第三种情况的方法同理可得:x= (不符合题意舍去);

∴BB’= x=

故平移2或


【解析】(1)根据等邻边四边形的定义,则只需要写一对邻边相等即可;(2)根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形去判定;根据新定义可知,有一组邻边相等即是等邻边四边形,所以要分类讨论不同相邻的边相等时的BB′的长。
【考点精析】关于本题考查的等腰三角形的性质和平行四边形的性质,需要了解等腰三角形的两个底角相等(简称:等边对等角);平行四边形的对边相等且平行;平行四边形的对角相等,邻角互补;平行四边形的对角线互相平分才能得出正确答案.

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