题目内容
已知如图,抛物线与x轴相交于B(1,0)、C(4,0)两点,与y轴的正半轴相交于A点,过A、B、C三点的⊙P与y轴相切于点A.
(1)请求出点A坐标和⊙P的半径;
(2)请确定抛物线的解析式;
(3)M为y轴负半轴上的一个动点,直线MB交⊙P于点D.若△AOB与以A、B、D为顶点的三角形相似,求MB•MD的值.(先画出符合题意的示意图再求解).
(1)∵OA是⊙P的切线,OC是⊙P的割线.
∴OA2=OB×OC 即OA2=1×4
∴OA=2 即点A点坐标是(0,2)
连接PA,过P作PE交OC于E显然,四边形PAOE为矩形,
故PA=OE
∵PE⊥BC ∴BE=CE 又BC=3,故BE=
∴PA=OE=OB+BE=1+=即⊙P的半径长为.
(2)抛物线的解析式是:
(3)根据题意∠OAB=∠ADB,所以△AOB和△ABD相似有两
种情况
①∠ABD和∠AOB对应,此时AD
是⊙P的直径则AB=,AD=5
∴BD=2
∵Rt△AMB∽Rt△DAB
∴MA:AD=AB:BD
即MA=
∵Rt△AMB∽Rt△DMA ∴MA:MD=MB:MA
即MB·MD=MA2=②∠BAD和∠AOB对应,此时BD是
⊙P的直径,所以直线MB过P点
∵B(1,0),P(
∴直线MB的解析式是:
∴M点的坐标为(0,
∴ AM= 由△MAB∽△MDA 得MA:MD=MB:MA
∴MB·MD=MA2=
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